Potenzmengen und Anzahl der Elemente bestimmen.

Question

Aufgabe:Kann mir hier jemand helfen?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

1. Es sei \( \mathbb{N}_{5}=\{1,2,3,4,5\} \). Bestimmen Sie die Potenzmenge \( P\left(\mathbb{N}_{5}\right) \) und damit die Anzahl ihrer Elemente.
2. Nun sei \( \mathbb{N}_{n}=\{1,2, \ldots, n-1, n\} \) für ein festes \( n \geq 1 \). Finden Sie eine allgemeine Formel für die Anzahl der Elemente der Potenzmenge \( P\left(\mathbb{N}_{n}\right) \) und beweisen Sie diese mit vollständiger Induktion.

Answer 1

Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen. Schreib mal alle auf und zähle: \(\{1\}, \{2\}, \{3\}, \dots, \{1,2\}, \{1,3\},\dots\)

Comments

Und die leere Menge \(\{\}\) nicht vergessen.

---

Guter Hinweis! :)

Answer 2

Anzahl der Elemente in der Potenzmenge P(N_n):

|P(N_n)| = 2^n

Comments

Ist das dann einfach die Lösung zu 1. oder muss man da noch etwas machen?

---

Das ist die Behauptung für Teil 2. Teil 1, siehe meine Antwort. Schreibe alle Teilmengen auf und zähle. Mehr gibt es da nicht zu tun.

---

Mehr gibt es da nicht zu tun.

Das ist eine Behauptung die durch vollständige Induktion zu Beweisen ist.

Das steht aber auch genau so in der Aufgabe.

---

Lies meinen Kommentar richtig. Ich bezog mich damit auf Teil 1. Und dass das die Behauptung für Teil 2 ist, schrieb ich ja ebenso. Ich dachte, dass der Beweis erfolgt muss, ist aufgrund der Aufgabenstellung offensichtlich. ;)