Mengenlehre Anzahl Elemente, Abbildungen

Question

Aufgabe:

A = {M | M ⊆ {1,2,3,4,5,6,7} ,  |M| = 2}

B = {M | M ⊆ {1,2,3,4,5,6} ,  |M| = 3}

Bestimmen Sie die Anzahl

(i) der Elemente von A,

(ii) der Elemente von B,

(iii) der Abbildungen von A nach B,

(iv) der injektiven Abbildungen von A nach B

Problem/Ansatz:

(i) & (ii) : Meine Frage erstmal muss ich jetzt die Potenzmenge von {1,2,3,4,5,6,7} mit weniger als 3 Elementen aufstellen und dann die Elemente mir einer Kardinalität von 2 Zählen oder ist die Anzahl von Elementen = 2 , da |M| = 2?

Ich würde A = {M | M ⊆ {1,2,3,4,5,6,7} ,  |M| = 2} so ausschreiben, A = { M für das gilt M liegt in der Menge {1,2,3,4,5,6,7} und M hat eine Kardinalität von 2}

Also ist A die Menge der Teilmengen oder einfach nur eine Menge mit 2 Elemente?

(iii) Die Anzahl aller Abbildungen von A nach B ist meine ich |(Zielmenge)|^|(Grundmenge)|

(iv) Anzahl der Injektiven  ??? Ich würde sagen alle Möglichkeiten A nach B Abzubilden - der nicht injektiven Möglichkeiten, aber wie?

Answer 1

Also ist A die Menge der Teilmengen

Ja genau. und:

Schau mal dort: http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Grundlagen/Folien_Binomialkoeffizient.pdf

Dann brauchst du also für i und ii die Binomialkoeffizienten

7 über 2    und   7 über 3 :

7 über 2 =   (7*6)/(1*2) = 21   und

7 über 3 =   (7*6*5)/(1*2*3) = 35

Comments

Also es gibt in A 21 Elemente mit einer Kardinalität von 2 und ich B 35 mit einer Kardinalität von 3.

Dann gibt es ingesamt 35^21 Abbildungen?

Wie kriege ich nun nur die Injektiven raus?

Zu (iv) habe ich nun diese Formel gefunden |A| = 21 , |B| = 35

(|B| über |A|) * |A|! = n!/ (n-k)! ,wobei |B| = n und |A| = k

also gibt es 35!/14! verschiedene Injektive Abbildungen?

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Dann gibt es insgesamt 35^21 Abbildungen? Ja.

Wenn du deine "gefundene Formel" noch was begründen musst (oder willst)

könnte man ja so vorgehen.  Eine Injektive Abb. von A nach B wählt ja sozusagen

aus den 35 Elementen von B genau 21 aus, weil ja die Bildmenge dann auch genau

21 Elemente haben muss. Und verschiedene Injektive Abb'en mit der gleichen

Bildmenge gibt es dann 21! Stück ; denn man kann ja die 21 "ausgewählten"

in unterschiedlichen Reihenfolgen den 21 Originalelementen zuordnen.

Und von diesen "Auswahlen" gibt es   35 über 21

= (35! / ( 21!  * 14 ! )   und das dann mal 21! (wegen #) gibt also wie

deine Formel 35! / 14!  also 35*34*33*…*15

Das könnte man dann auch noch so interpretieren: Wenn ich eine injektive

Abb. von A nach B definieren will, habe ich für das erste Element von A  zur  Festlegung seines  Bildes 35 Möglichkeiten. Beim zweiten nur noch 34 (wegen

der injektivität) beim nächsten nur noch 33 etc. Also ergibt sich  35*34*33*…*15

des ersten Elementes noch 35