Zeige, dass die Dreiecke ähnlich sind und berechne die Seitenlänge a₁.

Question

Aufgabe:

Das Dreieck ABC und das Dreieck BDA in Fig. 2 sind gleichschenklig. Zeige, dass die Dreiecke ähnlich sind und berechne die Seitenlänge a₁.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich a₁ berechnen soll.

Answer 1

Da die Dreiecke ähnlich sind, kann man hier mit den Seitenverhältnissen arbeiten. Im großen Dreieck sind die Schenkel 4,1 cm groß. Die Schenkel im kleinen Dreieck sind 2,9 cm groß. Die Schenkel verhalten sich also im Verhältnis 4,1/2,9. Die Basis im großen Dreieck ist 2,9 cm groß. Die Basen im großen und kleinen Dreieck müssen sich aber so verhalten wie die Schenkel. Es gilt also \(\frac{4{,}1}{2,9}=\frac{2,9}{a_1}\).

Comments

Vielen Dank.

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Sehr gerne. :)

Answer 2

Hallo Johannes,

Willkommen in der Mathelounge!

Ich weiß nicht, wie ich a₁ berechnen soll.

Du sollst vorher noch zeigen, dass die beiden Dreiecke ähnlich sind. Wären sie nicht ähnlich, so könntest Du aus den gegebenen Größen das \(a_1\) nicht berechnen.

Sie sind änlich, weil sie beide gleichschenklich sind und einen gemeinsamen Basiswinkel haben - nämlich \(\beta\). Somit ist \(\alpha = \beta = \delta\) und \(\gamma = \epsilon = 180° - 2\beta\). Die Winkel der beiden Dreieck \(ABC\) und \(BDA\) sind identisch.

Und wenn sie ähnlich sind, so sind alle Verhältnisse von Längen identisch - also auch das Verhältnis von Länge der Basis zur Länge des Schenkels - demnach ist:$$\begin{aligned}\frac{|AB|}{|AC|} &= \frac{|BD|=a_1}{|AB|} \\ \frac{2,9}{4,1} &= \frac{a_1}{2,9} \\ \implies a_1 &\approx 2,05\end{aligned}$$Falls Du dazu noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank. Genauso so habe ich das auch gerechnet.