Häufungspunkt von Folge plus Nullfolge

Question

Text erkannt:

2. Sei \( \left(z_{n}\right)_{n} \) eine Folge in \( \mathbb{C} \). Zeigen Sie:
(i) Ist \( \left(w_{n}\right)_{n} \) eine Nullfolge in \( \mathbb{C} \), so gilt für \( z \in \mathbb{C} \) : \( z \) ist Häufungspunkt von \( \left(z_{n}\right)_{n} \Longleftrightarrow z \) ist Häufungspunkt von \( \left(z_{n}+w_{n}\right)_{n} \)
(ii) Ist die Menge \( Z:=\left\{z_{n}: n \in \mathbb{N}\right\} \) endlich, so ist jeder Häufungspunkt von \( \left(z_{n}\right)_{n} \) in \( Z \) enthalten.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Über Hilfe würde ich mich freuen

Answer 1

(i) zu "==>"  Sei z Häufungspunkt von (z_n)_n  .

zu zeigen:  z ist Häufungspunkt von \( (z_n+w_n)_n \).

Dazu ist zu zeigen: In jeder ε-Umgebung von z liegen unendlich viele

Glieder der Folge   \( (z_n+w_n)_n \).

Sei also ε>0. Wegen   \( (w_n)_n \) ist Nullfolge,

gibt es ein N∈ℕ mit   \( |w_n| \lt 0,5\epsilon \) für alle n>n.

Wegen z ist Häufungspunkt von \( (z_n)_n \) gibt es

unendlich viele n∈ℕ mit \( |z_n-z| \lt 0,5\epsilon \)

Davon sind auch unendlich viele größer als N.

Also gibt es unendlich viele n∈ℕ mit

\( |w_n| \lt 0,5\epsilon \) und \( |z_n-z| \lt 0,5\epsilon \).

Für alle diese gilt (Dreiecksungl.) auch

\( |w_n+z_n-z| \lt \epsilon \), also sind es HP'e von   \( (z_n+w_n)_n \).

Rückrichtung entsprechend.