Aloha :)
zu 1) Mit dem binomischen Lehrsatz \(\,(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\,\) gilt für \(n\in\mathbb N^{\ge2}\):$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot 1^{n-k}\cdot\left(\sqrt{\frac{2}{n-1}}\right)^k>\binom{n}{2}\left(\sqrt{\frac{2}{n-1}}\right)^2=n$$Ziehen wir die \(n\)-te Wurzel erkennen wir für \(n\in\mathbb N^{\ge2}\):$$1=\sqrt[n]{1}<\pink{\sqrt[n]{n}}<1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}\quad\implies\quad\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$
zu 2) Da der Grenzwert \(\sqrt[n]{n}\) existiert, dürfen wir für \(\ell\in\mathbb N\) die Grenzwertsätze anwenden:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^\ell}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{n}\right)^\ell=\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\cdots\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}_{\text{\(\small \ell\) Faktoren}}=\left(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\right)^\ell=1^\ell=1$$
zu 3) Wir betrachten zuerst den Fall \(a\in(0;1)\).
Dann ist \(\frac1a>1\) und für jedes \(n\in\mathbb N\) mit \(n\ge\frac1a\) gilt:$$1=\sqrt[n]1<\sqrt[n]{\frac1a}\le\sqrt[n]{n}\quad\implies\quad\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac1a}\to1$$Da der Grenzwert des Kehrwertes existiert und von Null verschieden ist, gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{a}}}\right)=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac1a}}=\frac11=1$$
Im Fall \(a\in[1;\infty)\) gilt für jedes \(n\in\mathbb N\) mit \(n\ge a\):$$1=\sqrt[n]{1}\le\sqrt[n]{a}\le\sqrt[n]{n}\quad\implies\quad\sqrt[n]{a}\to1\;\text{ für }a\ge1$$
Damit gilt für alle \(a\in\mathbb R^+\):\(\quad\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\)