Aufgabe:
Lösen Sie folgende Ricatti-Differentialgleichung
\( y^{\prime}(x)=y(x)+\frac{1}{\boldsymbol{e}^{x}} y^{2}(x)-\boldsymbol{e}^{x} \)
mit der Anfangswertvorgabe \( y(0)=2 \). Zeigen Sie dazu zunächst, dass \( \widetilde{y}(x):=\boldsymbol{e}^{x} \) die Differentialgleichung (1) löst.
Problem/Ansatz:
Um zu zeigen, dass \( \tilde{y}(x)=e^{x} \) eine Lösung der Differentialgleichung ist, setze ich\( y(x)= \) \( \tilde{y}(x)=e^{x} \) ein:
\( \begin{array}{l} \tilde{y}^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} e^{x}=e^{x} \\ \tilde{y}^{\prime}(x)=e^{x}=\tilde{y}(x) \end{array} \)
Nun setze ich \( \tilde{y}(x)=e^{x} \) in die Differentialgleichung ein:
\( \begin{array}{l} \tilde{y}^{\prime}(x)=\tilde{y}(x)+\frac{1}{e^{x}} \tilde{y}^{2}(x)-e^{x} \\ e^{x}=e^{x}+\frac{1}{e^{x}}\left(e^{x}\right)^{2}-e^{x} \\ e^{x}=e^{x}+e^{x}-e^{x}=e^{x} \end{array} \)
Daher ist gezeigt, dass \( \tilde{y}(x)=e^{x} \) tatsächlich eine Lösung der gegebenen Riccati Differentialgleichung ist.
Die Substitution \( y(x)=\frac{1}{z(x)}-e^{x} \) hilft dabei, eine lineare Differentialgleichung zu erhalten.
\( \begin{array}{l} y^{\prime}(x)=-\frac{1}{z^{2}} \frac{d z}{d x} \\ f(x)=e^{x} \\ g(x)=\frac{1}{e^{x}} \\ h(x)=-e^{x} \end{array} \)
Wert in die Differentialgleichung substituieren:
\( -\frac{1}{z^{2}} \frac{d z}{d x}=e^{x}+\frac{1}{e^{x}}\left(\frac{1}{z}\right)^{2}-e^{x} \)
Nach Multiplikation mit \( -z^{2} \) und Umformung erhalten ich dann:
\( \frac{d z}{d x}=-e^{2 x} z^{2}-1 \)
Um dies in eine lineare Differentialgleichung umzuwandeln, verwendet man dann wieder Substitution \( v=z^{-1} \):
\( \begin{array}{l} z=\frac{1}{v} \\ \frac{d z}{d x}=-\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} \end{array} \)
\( z \) und \( \frac{d z}{d x} \) in der Differentialgleichung ersetzten:
\( \begin{array}{l} -\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x}=-e^{2 x}\left(\frac{1}{v}\right)^{2}-1 \\ -\frac{d v}{d x}=-e^{2 x} v^{2}-v^{2} \\ \frac{d v}{d x}=e^{2 x} v^{2}+v^{2} \\ \frac{d v}{d x}=v^{2}\left(e^{2 x}+1\right) \end{array} \)
Das ist jetzt eine separierbare Differentialgleichung. Die \( v \)-Terme auf die linke Seite und die \( x \)-Terme auf die rechte Seite bringen:
\( \frac{d v}{v^{2}\left(e^{2 x}+1\right)}=d x \)
Beide Seiten integrieren:
\( \int \frac{d v}{v^{2}\left(e^{2 x}+1\right)}=\int d x \)
Nach der Integration erhalten:
\( \frac{-1}{e^{2 x}+1 v}=x+C \)
Um die allgemeine Lösung zu erhalten, nach \( v \) auflösen:
\( v=\frac{1}{x+C}-e^{2 x}-1 \)
Da \( v=z^{-1} \), ist \( z=\frac{1}{v} \) :
\( z=\frac{1}{\frac{1}{x+C}-e^{2 x}-1} \)
Habe ich das jetzt so weit richtig gemacht - und wie kann ich jetzt das AWP lösen bzw. wie muss ich einsetzten?
