Lösen einer linearen partiellen Differentialgleichung mit konst. Koeffizienten und AWP

Question

Ich habe glaub ich eine sehr einfache Aufgabe jedoch steh ich leider an und komme nicht weiter. Meine Angabe:

$$a\frac{du}{dx}+b\frac{du}{dy} = 1$$ ist eine partielle Diffgl. die ich gelöst habe auf $$u(x,y)=\frac{1}{2ab}*(bx+ay)+G(bx-ay)$$ soweit ist auch meine Definition im Buch also glaube ich mich nicht vertan zu haben. Jetzt soll man diese auf die Form $$u(x,y)=\frac{1}{a}*(x)+C(y-\frac{bx}{a})$$ bringen. Ich habe leider keine Ahnung wie es möglich ist auf diese Forum umzustellen.

Weiter habe ich noch ein AWP gegeben und mich würde interessieren, ob ich hier richtig gerechnet habe. Vielleicht kann das kurz jemand checken:

AWP: $$u(0,y) = y^2+1$$Einsetzen in Gleichung $$\frac{1}{a}*(x)+C(y-\frac{bx}{a}): u(0,y) = 0+C(y) =y^2+1\\=> C(y) = y^2+1 => u(x,y) = \frac{1}{a}*(x)+y^2+1$$

Answer 1

Das \( G(\cdot) \) ist ja eine beliebige Funktion. Weil gilt $$  \frac{ bx+ay }{2ab } = \frac{x}{a} + \frac {1}{2b} \left(y - \frac{b}{a}x \right) $$ und weil gilt $$ G(bx-ay) = G \left(-a \left( y - \frac{b}{a}x \right) \right) = \tilde G\left( y - \frac{b}{a}x \right)  $$ kann man den Ausdruck auch so schreiben $$ u(x,y) = \frac{x}{a} + \tilde G\left( y - \frac{b}{a}x \right)  $$ und das ist ja die gewünschte Form.

Bei AWP musst Du nur die richtigen Argumente einsetzen. $$ \tilde G\left( y \right) = y^2 + 1   $$ und die Lösung lautet ja $$  u(x,y) =  \frac{x}{a} + \tilde G\left( y - \frac{b}{a}x \right) = \frac{x}{a} + \left( y - \frac{b}{a}x \right)^2 + 1 $$

Jetzt stimmen die Anfangswerte und $$ u_x = \frac{1}{a} + 2 \left( y - \frac{b}{a}x \right) \left( - \frac{b}{a} \right)  $$ und $$ u_y = 2b \left( y - \frac{b}{a}x \right)  $$ also auch $$ a u_x + b u_y = 1  $$

Comments

Hießt das, dass in $$\tilde G$$ 1/(2b) enthalten ist? denn dass ist ja bei der Umformung über geblieben.

Ah ja danke dass habe ich falsch aber macht Sinn so wie du das beschreibst.

LG

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genau, da ist einmal \( \frac{1}{2b} \) und auch das \( -a \) drin enthalten.

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Super danke! :)

Answer 2

Hallo

1/2∗(+)+(−)=1/a*x-1/(2b)*b/a*x+1/2b*y+G(-a*(y-b/a*x)=1/a*x+1/2b*(y-b/a*x)+G(-a*(y-b/a*x))

damit C(y-b/a*x)=1/2b*(y-b/a*x)+G(-a*(y-b/a*x)) 

deine Spezielle Lösung ist in Ordnung.

Gruß lul

Comments

Die spezielle Lösung stimmt nicht, da $$  a u_x + b u_y = 1 + 2by $$ gilt