Bestimmen Sie mit Hilfe des Separationsansatzes eine Lösung des folgenden Randanfangswertproblems
$$\left\{ \begin{array}{ll} u_{tt}(t,x)=2u_{xx}(t,x) \quad &t\in (0,\infty), x\in (0,\pi) \\ u(t,0) = u(,\pi) = 0 &t \in (0, \infty) \\ u_t(0,x)=28 \sin{(2x)}+\sin{(2018x)}, \quad &x \in (0,\pi) \end{array} \right .$$
$$u(t,x)=w(t) \cdot v(x)$$
$$u_{tt}=w_{tt}v$$
Einsetzten in PDGL:
$$vw_{tt}=2wv_{xx} \\ \frac{w_{tt}}{w} = \frac{2v_{xx}}{v} = k = const. \\ w_{tt}=kw \Rightarrow w_{tt}-kw=0 \Rightarrow \lambda_{w1,w2} = \pm \sqrt{k} \\ 2v_{xx}=kw \Rightarrow w_{tt}-\frac{1}{2}kw=0 \Rightarrow \lambda_{v1,v2} = \pm \sqrt{\frac{k}{2}} $$
Triviale Lösung(en) für $$k\geq0$$ wird/werden verworfen.
Wenn k<0:
$$v(x) = c_1 \cos(\sqrt{-\frac{k}{2}}x) + c_2 \sin(\sqrt{-\frac{k}{2}}x)$$
$$w(t) = d_1 \cos(\sqrt{-k}t) + d_2 \sin(\sqrt{-k}t)$$
$$u(t,0) = 0:$$
$$u(t,0)=w(t)\cdot v(x=0) = c_1 \cdot 1 (d_1 \cos(\sqrt{-k}t) + d_2 \sin(\sqrt{-k}t)) = 0$$
$$\Rightarrow c_1=0$$
$$u(t,\pi) = 0:$$
$$u(t,\pi)=w(t)\cdot v(x=0) = c_2 \sin(\sqrt{-\frac{k}{2}}\pi)(d_1 \cos(\sqrt{-k}t) + d_2 \sin(\sqrt{-k}t)) = 0$$
$$\Rightarrow \sqrt{-\frac{k}{2}} \in \mathbb{R}\text{, also } -\frac{k}{2} = n^2 \text{ mit } n \in \mathbb{N}$$
Somit ergeben sich als Lösungen des Randwertproblems:
$$u(t,x) = c_2 \sin(nx)(d_1 \cos(\sqrt{2}nt) + d_2 \sin(\sqrt{2}nt))$$
Einführung neuer Konstanten:
$$u(t,x) = \sin(nx)(a_1 \cos(\sqrt{2}nt) + a_2 \sin(\sqrt{2}nt))$$
Anfangsbedingungen auswerten:
$$u_t(0,x)=28 \sin{(2x)}+\sin{(2018x)}, \quad x \in (0,\pi)$$
$$28 \sin{(2x)}+\sin{(2018x)} = \sin(nx)(a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 0)$$
So, wie mache ich jetzt weiter?
