Lösen einer Partiellen Differentialgleichung mit AWP

Question

Aufgabe:

Ich habe folgende Aufgabe:

$$x\frac{du}{dx}+2y\frac{du}{dy} = 0$$

Diese partielle Differentialgelichung ist zu lösen und ich habe diese als Rumpf-Diffgl. gemacht und bin auf die Lösung $$u(x,y) = F(\frac{x^2}{y})$$ gekommen. Nun soll ich haber auch noch das AWP gegeben mit $$u(x,\frac{1}{x}) = x$$.

Jedoch weiß ich leider nicht wie ich AWP löse.. ich habe dazu nichts im Internet gefunden da ich auch F(..) als Lösung der homogenen Gleichung habe und nicht irgendetwas mit kontanten die ich ausrechnen kann.

Ich freu mich über jede Hilfe.

LG Thomas

Answer 1

Hallo,

F(x^2/y) ist nur eine Lösung der DGL. Die homogene Lösung der DGL wäre eine Superposition:

u(x,y) = ∑ a_{i}F_{i}(x^2 ,y)

Der Einfachheit rechnen wir aber mit

u(x,y)=F(x^2 /y)  weiter

u(x,1/x) = F(x^3) =x

Eine Lösung dieser Gleichung lautet

F(x)= x^{1/3}

Also F ist die dritte Wurzel.

Dann F(x^2 /y)= (x^2 /y)^{1/3}

Comments

wow super danke für die schnelle Antwort!

Hat mir sehr geholfen :)