Konvergenz von Folgenn

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4. (i) Zeigen Sie: \( \sqrt[n]{n} \rightarrow 1 \) für \( n \rightarrow \infty \).
(ii) Folgern Sie aus (i): Ist \( \ell \in \mathbb{N} \), so gilt \( \sqrt[n]{n^{\ell}} \rightarrow 1 \) für \( n \rightarrow \infty \).
(iii) Sei \( a \in \mathbb{R}, a>0 \). Folgern Sie ebenfalls aus (i) : \( \sqrt[n]{a} \rightarrow 1 \) für \( n \rightarrow \infty \).

Für eine Lösung mit Erklärung wäre ich sehr dankbar

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

zu 1) Mit dem binomischen Lehrsatz \(\,(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\,\) gilt für \(n\in\mathbb N^{\ge2}\):$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot 1^{n-k}\cdot\left(\sqrt{\frac{2}{n-1}}\right)^k>\binom{n}{2}\left(\sqrt{\frac{2}{n-1}}\right)^2=n$$Ziehen wir die \(n\)-te Wurzel erkennen wir für \(n\in\mathbb N^{\ge2}\):$$1=\sqrt[n]{1}<\pink{\sqrt[n]{n}}<1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}\quad\implies\quad\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$

zu 2) Da der Grenzwert \(\sqrt[n]{n}\) existiert, dürfen wir für \(\ell\in\mathbb N\) die Grenzwertsätze anwenden:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^\ell}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{n}\right)^\ell=\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\cdots\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}_{\text{\(\small \ell\) Faktoren}}=\left(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\right)^\ell=1^\ell=1$$

zu 3) Wir betrachten zuerst den Fall \(a\in(0;1)\).

Dann ist \(\frac1a>1\) und für jedes \(n\in\mathbb N\) mit \(n\ge\frac1a\) gilt:$$1=\sqrt[n]1<\sqrt[n]{\frac1a}\le\sqrt[n]{n}\quad\implies\quad\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac1a}\to1$$Da der Grenzwert des Kehrwertes existiert und von Null verschieden ist, gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{a}}}\right)=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac1a}}=\frac11=1$$

Im Fall \(a\in[1;\infty)\) gilt für jedes \(n\in\mathbb N\) mit \(n\ge a\):$$1=\sqrt[n]{1}\le\sqrt[n]{a}\le\sqrt[n]{n}\quad\implies\quad\sqrt[n]{a}\to1\;\text{ für }a\ge1$$

Damit gilt für alle \(a\in\mathbb R^+\):\(\quad\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\)

Answer 2

(i) Wir wollen zeigen, dass \( \sqrt[n]{n} \rightarrow 1 \) für \( n \rightarrow \infty \).
Sei \( a_{n}=\sqrt[n]{n} \). Nun will man den Grenzwert \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \) bestimmen.
Zuerst schreiben man \( a_{n} \) als \( a_{n}=e^{\frac{\ln n}{n}} \). Nun nutzen man den Grenzwertsatz \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x}=0 \). Dieser besagt, dass der Ausdruck \( \frac{\ln n}{n} \) für \( n \rightarrow \infty \) gegen 0 strebt.
Daher ist \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{\ln n}{n}}=e^{0}=1 \). Also konvergiert \( \sqrt[n]{n} \) gegen 1 für \( n \rightarrow \infty \).

(ii) Nun folgern wir aus (i), dass \( \sqrt[n]{n^{\ell}} \rightarrow 1 \) für \( n \rightarrow \infty \), wobei \( \ell \in \mathbb{N} \).
Betrachte \( \sqrt[n]{n^{\ell}}=\left(n^{\ell}\right)^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{\ell \ln n}{n}} \). Da \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=0 \), ergibt sich \( \sqrt[n]{n^{\ell}} \rightarrow 1 \) für \( n \rightarrow \infty \).

(iii) Schließlich, für \( a \in \mathbb{R} \) mit \( a>0 \), will man zeigen, dass \( \sqrt[n]{a} \rightarrow 1 \) für \( n \rightarrow \infty \).
Betrachte \( \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} \). Da \( a \) eine positive reelle Zahl ist, folgt aus dem gleichen Argument wie in (i) und (ii), dass \( a^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 \) für \( n \rightarrow \infty \), da \( \frac{1}{n} \) für \( n \rightarrow \infty \) gegen 0 strebt.

Zusammengefasst zeigen alle drei Fälle, dass der Ausdruck gegen 1 konvergiert, wenn der Exponent im Wurzelausdruck für \( n \rightarrow \infty \) gegen 0 strebt.