Zeigen Sie, dass eine solche Abbildung nicht surjektiv sein kann.

Question

Aufgabe:

Sei \( s: \mathbb{N} \rightarrow P(\mathbb{N}) \), wobei \( P(\mathbb{N}) \) die Potenzmenge von \( \mathbb{N} \) ist. Zeigen Sie, dass eine solche Abbildung nicht surjektiv sein kann.

Betrachten Sie dafür die Menge \( M=\{n \in \mathbb{N} \mid n \notin s(n)\} \in P(\mathbb{N}) \). Schlussfolgern Sie, dass es keine bijektiven Abbildungen zwischen nicht endlichen, abzählbaren Mengen und ihren Potenzmengen geben kann.

Answer 1

Angenommen es wäre s eine solche surjektive Abbildung.

Dann gäbe es ein für jede Teilmenge M von ℕ ein n∈ℕ mit s(n)= M

Also auch für \( M=\{n \in \mathbb{N} \mid n \notin s(n)\}  \)

Dann kann man sich die Frage stellen, ob n∈M gilt.

Angenommen das stimmt, dann wäre nach der Def. von M

das n ein Element aus ℕ mit n∉s(n) also n∉ℕ. Das ergibt einen

Widerspruch. Dann muss also gelten

n∉M, also n∉s(n). Dann gehört n also zu den Elementen,

für die n∉s(n) gilt, ist somit ein Element aus M. Also wieder

ein Widerspruch.

Somit kann es eine solche Abb. nicht geben.