1. Zu zeigen oder zu widerlegen: \( f \) und \( g \) sind surjektiv \( \Leftarrow g \circ f \) ist surjektiv.
**Gegenbeispiel:**
- Betrachte \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x) = e^x \) und \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( g(x) = \ln(x) \) für \( x > 0 \).
- \( f \) und \( g \) sind nicht surjektiv, da \( f \) nur positive reale Zahlen erzeugt und \( g \) nur nicht-negative reale Zahlen erzeugt.
- Aber \( g \circ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( g \circ f(x) = \ln(e^x) = x \) ist surjektiv.
Diese Aussage ist also im Allgemeinen nicht wahr.
2. Zu zeigen oder zu widerlegen: \( f \) und \( g \) sind surjektiv \( \Rightarrow g \circ f \) ist surjektiv.
**Beweis:**
- Angenommen, \( f \) und \( g \) sind surjektiv.
- Für jedes \( z \) in \( Z \) gibt es ein \( y \) in \( Y \) mit \( g(y) = z \), da \( g \) surjektiv ist.
- Ebenso gibt es ein \( x \) in \( X \) mit \( f(x) = y \), da \( f \) surjektiv ist.
- Somit ist \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z \) für jedes \( z \) in \( Z \).
- Daher ist \( g \circ f \) surjektiv.
3. Zu zeigen oder zu widerlegen: \( f \) und \( g \) sind injektiv \( \Leftarrow g \circ f \) ist injektiv.
**Gegenbeispiel:**
- Betrachte \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x) = x^2 \) und \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( g(x) = \sqrt{x} \) für \( x \geq 0 \).
- \( f \) und \( g \) sind nicht injektiv, da beide mehrere verschiedene Eingaben auf dasselbe Element abbilden.
- Aber \( g \circ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( g \circ f(x) = \sqrt{x^2} = |x| \) ist injektiv.
Diese Aussage ist also im Allgemeinen nicht wahr.
4. Zu zeigen oder zu widerlegen: \( f \) und \( g \) sind injektiv \( \Rightarrow g \circ f \) ist injektiv.
**Beweis:**
- Angenommen, \( f \) und \( g \) sind injektiv.
- Seien \( x_1, x_2 \) in \( X \) mit \( f(x_1) = f(x_2) \).
- Da \( f \) injektiv ist, folgt \( x_1 = x_2 \).
- Seien \( y_1, y_2 \) in \( Y \) mit \( g(y_1) = g(y_2) \).
- Da \( g \) injektiv ist, folgt \( y_1 = y_2 \).
- Somit ist \( g \circ f(x_1) = g(f(x_1)) = g(y_1) \) und \( g \circ f(x_2) = g(f(x_2)) = g(y_2) \).
- Daher ist \( g \circ f(x_1) = g \circ f(x_2) \) nur dann möglich, wenn \( x_1 = x_2 \).
- Das zeigt, dass \( g \circ f \) injektiv ist.
Diese Aussage ist wahr.
Ich habe es jetzt so gemacht, stimmt das?
