Gauß - Algorithmus mit komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

Ich möchte die folgende Matrix in die normierte Zeilenstufenform bringen um danach die Eigenvektoren zu bestimmen. Kann mir bitte jemand bei den Gauß Algorithmus Schritten helfen, damit ich auf die normierte Zeilenstufenform komme.

Mein Ansatz:

für lamda 1 = 2 + \( \sqrt{7} \) i : (Matrix A - (2 + \( \sqrt{7} \) i) I ) x = 0

1- \( \sqrt{7} \) i	-2	0
4	-1  - \( \sqrt{7} \) i :	0

Answer 1

Das geht genauso wie im reellen. Du müsstest von der 2. Zeile das \(\frac4{1-\sqrt7i}\)-fache der 1. Zeile subtrahieren.

Aber wozu? Wenn Dein Eigenwert stimmt, ist die Matrix singulär und dann entsteht dadurch eine Nullzeile in der 2. Zeile. Das weißt Du also vorher schon und brauchst diese Transformation gar nicht durchzuführen.

Zur Bestimmung eines Eigenvektors (es gibt unendlich viele) musst Du nur die 1. Zeile erfüllen. Suche also ein \(\binom{x_1}{x_2}\) mit

\((1-\sqrt7i)x_1-2x_2=0\).

Am einfachsten eine Variable fest wählen und damit die zweite bestimmen, also z.B. \(x_1=1\) ergibt \(x_2=...\). Fertig ist ein EV.

Answer 2

\(     \begin{pmatrix} 1- \sqrt{7}  i &  -2  &  0 \\ 4 &-1  - \sqrt{7} i &0 \end{pmatrix}  \)

1. Zeile mal 4 , 2. Zeile mal \(  1- \sqrt{7}  i  \)

Gibt dann in beiden Zeilen das gleiche.

Also 1. minus 2. ind du hast eine 0-Zeile.