Verwenden Sie die Matrixschreibweise und den Gauß-Algorithmus. Bestimmen Sie auch die Ränge von A und (A | \vec{b}) .

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufgabe 1 (Lineares Gleichungssystem) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem.
\( \begin{aligned} x_{1}+2 x_{2}+x_{3} & =8 \\ -2 x_{1}+x_{2}+8 x_{3} & =9 \\ -x_{1}-x_{2}+x_{3} & =0 \end{aligned} \)
Verwenden Sie die Matrixschreibweise und den Gauß-Algorithmus. Bestimmen Sie auch die Ränge von \( A \) und \( (A \mid \vec{b}) \).

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

Nimm a, b,c , dann wirds klarer beim Rechnen:

a+2b+c = 8

-2a+b+8c = 9

-a -b +c = 0

I+III: b+2c = 8

b= 8-2c

II - 2*III:

3b+6c = 9

3(8-2c)+6c = 9

24-6c+6c = 9

24 = 9  (Widerspruch)

https://www.wolframalpha.com/input?i=a%2B2b%2Bc+%3D+8%2C++-2a%2Bb%2B8c+%3D+9%2C++-a+-b+%2Bc+%3D+0+

Da stimmt etwas nicht.

Answer 2

Wo ist deine Schwierigkeit das LGS über das Gauss-Verfahren zu lösen?

x + 2·y + z = 8
- 2·x + y + 8·z = 9
-x - y + z = 0

II + 2*I ; III + I

x + 2·y + z = 8
5·y + 10·z = 25
y + 2·z = 8

5*III - II

x + 2·y + z = 8
5·y + 10·z = 25
0 = 15

Damit gibt es keine Lösung. PS Es sollte eigentlich egal sein das ich das jetzt nicht als Matrix geschrieben habe. Die Rechnung ist und bleibt dieselbe egal in welcher Schreibweise man es schreibt.

Answer 3

Matrixschreibweise des LGS ist

        \(\begin{pmatrix}1&2&1&8\\-2&1&8&9\\-1&-1&1&0\end{pmatrix}\)

Den Rang einer Matrix bestimmt man indem man die Matrix mittels elementarer Zeilenumformungen in Zeilenstufenform überführt und dann zählt in wie vielen Zeilen nicht nur Nullen stehen.