Relation einer Menge, Eigenschaften reflexiv, symmetrisch, transitiv

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Menge M aller Menschen in Bochum, welche in einem Mehrfamilienhaus wohnen. Zwei Personen dieser Menge M stehen genau dann in Relation zueinander, wenn sie im selben Haus wohnen. Ist die dadurch definierte Relation R auf der Menge M

i) reflexiv,

ii) symmetrisch,

iii) transitiv?

Begründen Sie jeweils ihre Entscheidung.

Problem/Ansatz: Gegeben: Personen: A, B, C

R {(A,B) ∈ M | A und B wohnen im selben Mehrfamilienhaus}

i) reflexiv, wenn (A,A) ∈ M. Die definierte Relation R auf der Menge M ist nicht reflexiv, da sonst jeder im Haus mit sich selbst wohnen müsste.  Notiz: Hier bin ich mir unsicher.

ii) symmetrisch, wenn (A,B) ∈ M gilt, dann folgt (B,A) ∈ M. Wenn Person A im selben Haus wohnt wie Person B, dann wohnt auch Person B im selben Haus wie Person A. Folglich ist die Relation symmetrisch.

iii) transitiv, wenn (A,B)∈ M und (B,C)∈ M gilt. folgt auch das (A,C)∈ M. Die... ist transitiv. Wenn Person A im selben Haus wohnt wie Person B und Person im selben Haus wohnt wie Person C, dann wohnt Person A demzufolge auch im selben Haus wie Person C.

Answer 1

i) reflexiv, wenn (A,A) ∈ M. Die definierte Relation R auf der Menge M ist nicht reflexiv, da sonst jeder im Haus mit sich selbst wohnen müsste. Notiz: Hier bin ich mir unsicher.

Das hört sich vielleicht komisch an, aber es ist doch so:

Jede wohnt im gleichen Haus wie sie selbst. Ich würde meinen: reflexiv ist erfüllt.

ii) symmetrisch, wenn (A,B) ∈ M gilt, dann folgt (B,A) ∈ M. Wenn Person A im selben Haus wohnt wie Person B, dann wohnt auch Person B im selben Haus wie Person A. Folglich ist die Relation symmetrisch.✓



iii) transitiv, wenn (A,B)∈ M und (B,C)∈ M gilt. folgt auch das (A,C)∈ M. Die... ist transitiv. Wenn Person A im selben Haus wohnt wie Person B und Person im selben Haus wohnt wie Person C, dann wohnt Person A demzufolge auch im selben Haus wie Person C.✓

Answer 2

Wenn Person A im selben Haus wohnt wie Person B und Person im selben Haus wohnt wie Person C, dann wohnt Person A demzufolge auch im selben Haus wie Person C.

Bezieht man Zweitwohnsitze mit ein, dann stimmt das höchstwahrscheinlich nicht mehr. Zum Beispiel

• A wohnt nur in Hevener Straße 13,
• B wohnt in Hevener Straße 13 und in Hustadtring 81,
• C wohnt nur in Hustadtring 81.