Aufgabe:
Ableitung erklären:
f(z) = z^3*ln(z)*cos(4z)
Problem/Ansatz:
Also ich kenne diese Art Funktion so, dass ich die Produktregel mehrfach anwende bis ich durch bin, das hat sich hierbei als schwer herausgestellt da ich immer wieder an stellen gestoßen bin an denen ich nicht weiter gekommen bin.
Dann habe ich einen Ableitungsrechner.net benutzt welcher die Produktregel ganz anders anwendet als ich es kenne. Wenn ich das richtig verstehe leitet er immer einen Term ab und nimmt die anderen beiden mit. Ich klammere immer einen Term, z. B z^3 aus leite dann die klammer ab. Dann nochmal Produktregel mit z^3 und der langen Klammer als Terme. Die Klammer nochmal abgeleitet wird natürlich lang und unübersichtlich. Wieso funktioniert die Methode des Ableitungsrechners?
Text erkannt:
\( \begin{array}{c} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z}\left[z^{3} \ln (z) \cos (4 z)\right] \\ =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z}\left[z^{3}\right] \cdot \ln (z) \cos (4 z)+z^{3} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z}[\ln (z)] \cdot \cos (4 z)+z^{3} \ln (z) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z}[\cos (4 z)] \\ =3 z^{2} \ln (z) \cos (4 z)+z^{3} \cdot \frac{1}{z} \cos (4 z)+z^{3} \ln (z)(-\sin (4 z)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z}[4 z] \\ =3 z^{2} \ln (z) \cos (4 z)-z^{3} \ln (z) \cdot 4 \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z}[z] \cdot \sin (4 z)+z^{2} \cos (4 z) \\ =3 z^{2} \ln (z) \cos (4 z)-4 z^{3} \ln (z) \cdot 1 \sin (4 z)+z^{2} \cos (4 z) \\ =-4 z^{3} \ln (z) \sin (4 z)+3 z^{2} \ln (z) \cos (4 z)+z^{2} \cos (4 z) \end{array} \)
Vereinfachen/umschreiben:
\( -z^{2} \cdot(4 z \ln (z) \sin (4 z)+(-3 \ln (z)-1) \cos (4 z)) \)
