4 | (x^2 − 3y^2) wenn x oder y gerade

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:
Seien x, y ∈ Z. Gilt 4 | (x^2 − 3y^2), so ist eine der Zahlen x oder y gerade.

Problem/Ansatz:

Habe drei Sachen ausprobiert:

x = 2k, y = 2i+1

x = 2k+1, y= 2i

x = 2k, y = 2i

Habe rausbekommen, dass das Ergebnis nur durch 4 teilbar ist wenn beide gerade sind. Ist das richtig? Bin mir bei der Aufgabenstellung nicht sicher, ob zu zeugen ist dass es auch geht wenn nur x oder y gerade ist.

Answer 1

Bin mir bei der Aufgabenstellung nicht sicher, ob zu zeugen ist dass es auch geht wenn nur x oder y gerade ist.

Es ist umgekehrt: Wenn 4 | (x² − 3y²) , dann ist mindestens eine

der beiden gerade.

Denn:

Seien x, y ∈ Z. Gilt 4 | (x² − 3y²), so ist eine der Zahlen x oder y gerade.

heißt doch: Wenn beide ungerade sind, dann kann nicht  4|(x² − 3y² ) gelten.

Angenommen, beide sind ungerade, also x=2n+1 und y=2m+1

dann gilt x² − 3y² = 4n^2 +4n + 1 - 3(4m^2 + 4m + 1)

                        = 4n^2 +4n + 1 - 12m^2 -12m -3

                           = 4n^2 +4n  - 12m^2 -12m -2

                         = 4(n^2 +n -3m^2 -3m)  +( -2)

Der 1. Summand ist durch 4 teilbar, der 2. nicht,

also auch die Summe nicht. q.e.d.

Comments

Damit ist bewiesen, dass es nicht durch 4 teilbar ist wenn beide ungerade sind. Damit ist aber nicht gezeigt dass wenn x oder y gerade sind es auch durch 4 teilbar ist. Oder?

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Es war doch

Gilt 4 | (x² − 3y²)   ==>   x oder y gerade.

Das ist äquivalent mit

weder x noch y gerade ==>  Gilt nicht 4 | (x² − 3y²).

Die andere Richtung brauchst du doch nicht.

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Sorry habe glaube grade einen Denkfehler...

ich weiß schon was du meinst, aber mir fehlt der Teil der zeigt dass mindestens eins der beiden Elemente gerade sein muss.

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Ich hatte gezeigt: Wenn beide ungerade sind,

dann ist 4 | (x² − 3y²) falsch.

Wenn also 4 | (x² − 3y²) wahr ist,

dann muss "beide sind ungerade" falsch sein.

Und das heißt doch: Mindestens eine der

beiden muss gerade sein.