Schnittgerade zweier Ebenen in Normalenform.

Question

Schnittgerade zweier Ebenen in Parameterfreier Darstellung?

Text erkannt:

Gegeben sind die beiden Ebenen
\( \begin{array}{l} E_{1}:\left(\vec{x}-\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right)=0 . \\ E_{2}:\left(\vec{x}-\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{c} -5 \\ -4 \\ -2 \end{array}\right)=0 . \end{array} \)

Berechnen Sie die Schnittgerade.
\( \left.g: \vec{x}=(\square, \square, \square)^{\top}+\lambda \square, \square, \square\right)^{\top}, \lambda \in \mathbb{R} \)

Answer 1

Der Punkt (2 | -1 | 4) gehört offensichtlich zu beiden Ebenen und ist deshalb direkt als Stützvektor der Schnittgeraden verwendbar. Zusätzlich ist die Schnittgerade senkrecht zu den Normalenvektoren der Ebenen. Also bekommt man den Richtungsvektor der Schnittgeraden über das Kreuzprodukt der Normalenvekoren.

[4, 5, -2] ⨯ [-5, -4, -2] = [-18, 18, 9] = - 9·[2, -2, -1]

g: X = [2, -1, 4] + r·[2, -2, -1]

Comments

Kann ich die gerade tatsächlich so abgeben, weil dich die neun ausgeklammert worden ist… wie will man das so bei der geraden nachvollziehen können. Ist es nicht sicherer dann

X= [2,-1,4] + r[-18,18,9] anzugeben?

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Richtungsvektoren kann man problemlos skalieren.

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Das heißt also wenn ich r[2,-2,-1] angebe ist das auf jeden Fall richtig?