Schnittgerade der in Normalenform gegebenen Ebenen E1 und E2

Question

Berechnen Sie die Schnittgerade zwischen den beiden Ebenen E1 und E2:

E1: [ 1,2,3] • (r-[4,5,6]) = 0

E2: [7,8,9] • (r-[4,5,6]) = 0

Comments

EDIT: Bitte Gross- und Kleinschreibung in der Überschrift jeweils selbst korrekt eingeben.

Answer 1

Stelle zunächst die Parameterform einer der Ebenen her. Auf E₁ liegen die Punkte (-1|0|11), (2|0|10) und (0|1|10).Dann ist E₁: r=(-1|0|-11)+k(3|0|-1)+m(1|1|-1). Setze dies in E₂ ein.Dann wird k durch m ausgedrückt. Setze dies in die Parameterform von E₁ ein und vereinfache zur Geradengleichung.

Answer 2

du kannst auch so vorgehen:

Das Vektorprodukt [1, 2, 3] x [7, 8, 9] = [-6, 12, -6]  ist ein Vektor, der auf den Normalenvektoren beider Ebenen senkrecht steht und  damit zu beiden Ebenen parallel ist. Deshalb ist er  ein Richtungsvektor der Schnittgeraden g_s .  Stattdessen kann man auch einfacher das Vielfache [1, -2, 1]  nehmen. 

Jetzt benötigt man für den Stützvektor von g_s noch einen gemeinsamen Punkt P beider Ebenen:

[ 1, 2, 3] • ( [x, y, z] - [4, 5, 6] ) = 0    und   [7, 8, 9] • ( [x, y, z] - [4, 5, 6] ) = 0

⇔   x + 2·y + 3·z = 32  und   7·x + 8·y + 9·z = 122

Bei diesem Gleichungssystem mit 2 Unbekannten kann man (für eine Lösung) eine Unbekannte frei wählen, z. B. z = 0

Dann ergibt sich  x = -2 und y = 17  →  P(-2|17|0)  

und damit   g_s:  \(\vec{x}\) =  [-2, 17, 0] + r · [1, -2, 1]   

Gruß Wolfgang

Comments

[ 1, 2, 3] x [7, 8, 9] = [-6, 12, -6] ist ein Vektor, der auf beiden Ebenen senkrecht steht

Dann wären die Ebenen parallel...

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Danke für den Hinweis. Es muss natürlich "zu beiden Ebenen parallel" heißen".  Habe das korrigiert (und noch etwas genauer begründet). 

Answer 3

ich beschreibe im folgenden einen Weg, eine Parameterform der Schnittgeraden über das Koordinatengleichungssystem zu bestimmen. Dazu übersetze ich die unhandliche Normalenform der Ebenengleichung
$$E_1 : \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix}\right)=0 \\[25pt] E_2 : \begin{pmatrix} 7\\8\\9 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4\\5\\6 \end{pmatrix}\right)=0$$

in die übersichtlichere Koordinatenform
$$E_1 : \phantom{1}x+2y+3z=\phantom{0}32 \\ E_2 : 7x+8y+9z = 122$$

Die Schnittgerade entspricht dann der Lösungsmenge des Gleichungssystems
$$E_{1}\cap E_{2}:\:\begin{vmatrix}\:\:x & + & 2y & + & 3z & = & \:\:32\\ 7x & + & 8y & + & 9z & = & 122 \end{vmatrix}$$

welches sich beispielsweise zu
$$E_{1}\cap E_{2}:\:\begin{vmatrix} &  & y &  &  & = & 13-2x\\ &  &  &  & z & = & 2+x \end{vmatrix}$$

vereinfachen und mit \(x:=r\) zu
$$E_{1}\cap E_{2}:\:\begin{vmatrix}x &  &  &  &  & = & r\\ &  & y &  &  & = & 13-2r\\ &  &  &  & z & = & 2+r \end{vmatrix}$$

ergänzen lässt.

Dem entspricht die Geradengleichung
$$E_{1}\cap E_{2}:\:\begin{pmatrix}x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 13\\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}.$$