Bestimmen Sie die Schnittgerade g der Ebenen E1 und E2.

Question

Aufgabe

Bestimmen Sie die Schnittgerade g der Ebenen E1 und E2. Geben Sie die Koordinaten ys und zs für xs=4 an!

E1: −9x−10y−5z=3             E2:(−8,7,−6)*r =5

Problem/Ansatz:

Das Hauptproblem liegt darin, dass ich nicht so richtig etwas mit E2 anfangen kann....

Answer 1

Aloha :)

Wir haben zwei Ebenengleichungen gegeben:$$E_1:\;-9x-10y-5z=3\quad;\quad E_2:\;\begin{pmatrix}-8\\7\\-6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=5$$Die zweite wandeln wir von der Vektorform in die Koordinatenform, indem wir das Skalarprodukt ausrechnen:$$E_2:\;-8x+7y-6z=5$$Dann stellen wir diese Koordinatengleichung nach \(z\) um:$$6z=-5-8x+7y\quad\Leftrightarrow\quad z=-\frac{5}{6}-\frac{8}{6}x+\frac{7}{6}y$$um die Ebenengleichung \(E_2\) in Parameterform schreiben zu können:

$$E_2:\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\-\frac{5}{6}-\frac{8}{6}x+\frac{7}{6}y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac{5}{6}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x\\0\\-\frac{8}{6}x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\y\\\frac{7}{6}y\end{pmatrix}$$$$\phantom{E_2:\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac{5}{6}\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1\\0\\-\frac{8}{6}\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\\frac{7}{6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac{5}{6}\end{pmatrix}+\frac{x}{6}\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}+\frac{y}{6}\begin{pmatrix}0\\6\\7\end{pmatrix}$$Setzen wir noch \(s=\frac{x}{6}\) und \(t=\frac{y}{6}\) haben wir:$$E_2:\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac{5}{6}\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\6\\7\end{pmatrix}\quad;\quad s,t\in\mathbb R$$

Jetzt nutzen wir diese Parameterdarstellung und setzen sie in die Koordinatengleichung von \(E_1\) ein:

$$3=-9x-10y-5z=-9\cdot6s-10\cdot6t-5\cdot\left(\frac{-5}{6}-8s+7t\right)$$$$\phantom{3}=-54s-60t+\frac{25}{6}+40s-35t=-14s-95t+\frac{25}{6}$$Diese Gleichung stellen wir nach \(s\) um$$14s=-95t+\frac{25}{6}-3=-95t+\frac{7}{6}\quad\Rightarrow\quad s=-\frac{95}{14}t+\frac{1}{12}$$und setzen dieses \(s\) in die Ebenengleichung \(E_2\) ein, um die Schnittgerade zu erhalten:

$$g:\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac{5}{6}\end{pmatrix}+\left(-\frac{95}{14}t+\frac{1}{12}\right)\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\6\\7\end{pmatrix}$$$$\phantom{g:\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac{5}{6}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{6}{12}\\0\\-\frac{8}{12}\end{pmatrix}-\frac{95}{14}t\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\6\\7\end{pmatrix}$$$$\phantom{g:\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}0+\frac{1}{2}\\0\\-\frac{5}{6}-\frac{4}{6}\end{pmatrix}+\frac{t}{14}\left[\begin{pmatrix}-95\cdot6\\0\\95\cdot8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\cdot14\\7\cdot14\end{pmatrix}\right]$$$$\phantom{g:\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}0,5\\0\\-1,5\end{pmatrix}+\frac{t}{14}\begin{pmatrix}-570\\84\\858\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5\\0\\-1,5\end{pmatrix}+\frac{6t}{14}\begin{pmatrix}-95\\14\\143\end{pmatrix}$$

Setzen wir noch \(\lambda:=\frac{6t}{14}\) haben wir die Schnittgerade in Parameterform:$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}0,5\\0\\-1,5\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-95\\14\\143\end{pmatrix}\quad;\quad\lambda\in\mathbb R$$

Comments

Das geht wesentlich einfacher. Das System

−9x−10y−5z=3

−8x+7y−6z=5

wird so umgestellt, dass wir mit dem Additionsverfahren eine der Variablen entsorgen können:

54x+60y+30z=-18

-40x+35y-30z=25

ergibt nach Addition 14x + 95y=7.

Da eine Gerade bereits durch 2 Punkte eindeutig bestimmt ist, brauchen wir nur zwei günstig gewählte Tripel (x,y,z), die das System erfüllen. Dafür wiederung brauchen wir zwei Paare (x,y), die die Gleichung 14x + 95y=7. erfüllen. Das sind z.B.

(0,5 ; 0) und (0; \( \frac{7}{95} \)). Zu diesen Paaren (x,y) brauchen wir noch das passende z. Aus der Gleichung von E1 folgt z=\( \frac{-9}{5}x-2y-\frac{3}{5} \).

Ein erster Geradenpunkt ist somit (0,5 |0|-1,5).

Ein zweiter Geradenpunkt ist somit (0 |\(\frac{7}{95}\) |\(\frac{-71}{95}\)).

Diese beiden Punkte bestimmen die Schnittgerade

\( \vec{x}=\begin{pmatrix} 0,5\\0\\-1,5 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} -0,5\\ \frac{7}{95} \\ \frac{143}{190} \end{pmatrix}\)

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Ja - das war auch mein Gedanke. Ich spendiere auch noch eine ganzzahlige Lösung: $$\vec x = \begin{pmatrix}-47\\ 7\\ 70\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-95\\ 14\\ 143\end{pmatrix}$$sieht etwas unterschiedlich aus, aber jede der drei Lösungen beschreibt die identische Gerade.

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Danke euch beiden für die Bestätigung meines Ergebnisses. Ich hatte nicht mehr nachgerechnet und daher etwas Sorge, ob ich mich nicht vielleicht verrechnet habe, weil die Zahlen doch etwas "krumm" waren.

Answer 2

Hallo

r ist der Vektor (x,y,z) also ist E2: -8x+y-6z=0 , ich hoffe damit kommst du weiter

Gruß lul

Comments

Warum keine 7y sondern nur y? :O

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...und warum =0 und nicht =5?

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Weil ich nicht aufgepasst habe, gut, dass du aufpasst!

lul