Schnittgerade der Ebenen: E1:X =(0/0/4) +r(2/0/-3) +s (0/3/-1); E2: X= (0/0/6) +r(2/0/-5) +s(0/1/-1)

Question

Bestimme die  Schnittgerade der gegebenen Ebenen auf folgende Weise:

Eine Ebene beschreibt man durch eine Parameterdarstellung, die andere durch eine Gleichung in Normalen Form.

Der Term x in der Parameterdarstellung (die rechte Seite der Gleichung) wird dann in die Normalenform eingesetzt,

E₁:X =(0/0/4) +r(2/0/-3) +s (0/3/-1); E₂: X= (0/0/6) +r(2/0/-5) +s(0/1/-1)

E₂ hab ich schon in Normalform beschrieben: E₂: (2.5/1/1) *X=6

habe dann die Koordinaten der Ebene 1 in die Normalenform eingesetzt: 

nun bin ich auf so eine Gleichung gekommen: r+s=1 wie geht es weiter? Wenn ich die Gleichung nach r oder s auflöse und in die Parameterdarstellung kommen da punkte mit s raus.. 

kann mir jemand BITTE helfen

Answer 1

natürlich müssen Punkte in Abhängigkeit mindestens eines Parameters rauskommen.

2 unterschiedliche Ebenen scheiden sich höchstens in einer Geraden.

Es gibt also im Falle des Schneidens (also wenn die Ebenen nicht parallel sind) immer unendlich viele Schnittpunkte.

Comments

Danke erstmal für dein schnelles Antworten.  

Ja das weiß ich. Soory wegen unklare Formulierung. Also meine Frage ist jetzt wie kann ich r=1-s in die Parameterdarstellung einstzen ? 

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Indem du für r einfach (1-s) einsetzt ausmultiplizierst und dann wieder s ausklammerst ....

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ist dann die Schnittgerade so richtig : g:X= (2/0/1) +s(0/3/-1)

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????                                                                                               

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Nein, wenn wirklich r = (1-s) rauskommt dann müsste rauskommen

$$ X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + (1-s) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} $$ 

$$= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + s \dot (- \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Answer 2

Ebene E2 in die Koordinatenform umwandeln

N = [2, 0, -5] ⨯ [0, 1, -1] = [5, 2, 2]

5·x + 2·y + 2·z = 12

Hier jetzt die Ebene E1 einsetzen

5·(2·r) + 2·(3·s) + 2·(- 3·r - s + 4) = 12

4·r + 4·s + 8 = 12

s = 1 - r

Das kann ich jetzt in die Ebene E1 einsetzen

X = [0, 0, 4] + r·[2, 0, -3] + (1 - r)·[0, 3, -1]

X = [0, 3, 3] + r·[2, -3, -2]

Comments

Du hast jetzt eine  andere Koordinatenform als ich.

Ich hab nämlich: 2.5X+y+z=6; und mir ist aufgefallen dass du das doppelte hast. Heißt dass das beide richtig sind?

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Wenn eine Gleichung ein vielfaches der anderen ist, dann ist das eine Äquivalenzumformung und damit sind die Gleichungen äquivalent.

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Tolle definition Ich bedanke mich ganz  herzlich.. 

Also nochmal um sicher zu sein.. Die Gleichung ist äquivalent heißt dass auch meine richtig ist oder?

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Ja. 

x = 7 ist auch äquivalent zu 2x = 14

Beide Gleichungen sagen das gleiche aus.