Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1 und E2

Question

a) E1: x = (1/0/3) + r*(1/0/0)+ s*(1/1/0)

E2: x = (2/3/2) + r*(0/1/1)+ s*(2/0/1)

Um die Schnittgerade zu bestimmen, wandel ich die beiden Parameterformen in Koordinatenformen:

E1: Normalenvektor : (0/0/1)  und damit die Koordinatenform: x₃=3

E2: Normalenvektor : (1/2/-2) und damit die Koordinatenform: x₁+2x₂-2x₃=1

Im nächsten Zug möchte ich das Gleichungssystem lösen ( Ab diesem Punkt komme ich nicht mehr weiter)

Ι   x₃=3

ΙΙ  x₁+2x₂-2x₃=1

Wie gehe ich weiter vor um die Schnittgerade zu errechnen?und um das Gleichungssystem zu lösen?

Answer 1

Es genügt, wenn du eine Ebenengleichung in Koordinatenform umwandelst und dann für x1, x2, x3 die entsprechenden Zeilen der andern Ebenengleichung einsetzt.

Hier z.B. 2 + r+ s = 3

==> r = 1-s

Daher hat die Schnittgerade die Gleichung

g: x = (2/3/2) + (1-s)*(0/1/1)+ s*(2/0/1)

= (2/3/2) + (0/1/1) - s(0/1/1) + s*(2/0/1)

= (2/4/3) + s(2/-1/0)

Bitte selbst nachrechnen!

Comments

ja okay aber wie mache ich es wenn ich halt nur die zwei koordinatenformen, die ich ausgerechnet habe, von anfang an nur gegeben habe?

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Dann kombinierst du die beiden Gleichungen erst mal so, dass eine Variable verschwindet. Nun wählst du zwei mal eine der übrigen Variabeln und rechnest den Rest aus. -----> 2 Punkte auf der Schnittgeraden.

Ι   x₃=3 

ΙΙ  x₁+2x₂-2x₃=1

ΙΙ'   x₁+2x₂-6=1

x₁ = -2x₂+ 7

x₂ = 0 ---> x₁= 7 und x₃ = 3

x2=1 -----> x1=5 und x3= 3

g: x = (7/0/3) + t(2/-1/0)

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Zwar schon bisschen länger her, aber müsste hinter dem Gleicheitszeichen der Koordinatenform der 2. Ebene nicht eine 4 stehen, statt einer 1?