Lage von Ebenen bestimmen

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie die gegenseitige Lage der Ebene E1 und E2. Geben sie gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden an.

\( E_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r}1 \\ -3 \\ 0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right) \quad \quad E_{2}:\left(\begin{array}{r}3 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \cdot \vec{x}=5 \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie man mit so einer Ebene die Lage bestimmt.

Answer 1

Zwei Ebenen können

identisch sein,

parallel verlaufen

oder sich schneiden.

Wenn die Ebenen drei gemeinsame Punkte haben, die nicht auf einer Geraden liegen, sind die Ebenen identisch. Ich bestimme drei Punkte von E1 und setze sie in E2 ein:

r=0, s=0:

3*2+  1*0  -1*1 =5 ✓

r=1, s=0:

3*3+  1*(-3)  -1*1 =5 ✓

r=0, s=1:

3*3+  1*(-1)  -1*3 =5 ✓

Die Ebenen sind identisch.

Answer 2

Der NV von E2 hat mit jedem der RV'en von E1 das Skalarprodukt 0.

==>   E1 || E2 .

Und der Punkt (2;0;1) liegt in E2. ==> E1=E2

Answer 3

Der Normalenvektor auf E₁ ist kollinear zum Normalenvektor von E₂. Die Ebenen sind parallel oder sogar identisch. Setzt man den Ortsvektor Von E₁ in E₂ ein, kann man Identität ausschließen.

Comments

Danke aber wir berechnet Mans as mit der E2. Denn die Gleichung sieht anders aus als sonst

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Was soll das heißen:

wir berechnet Mans as mit der E2.

??????