Ermittle die gegenseitige Lage und den Durchschnitt zweier Ebenen

Question

A) Ermittle die gegenseitige Lage und den Durchschnitt der Ebenen \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \)!


a) \( \mathrm{E}_{1} \): 2x-y-3z = 1
  \( \mathrm{E}_{2} \): 2x-y-z= -7

Leider komme ich auf keiner korrekten Antwort und würde mich auf einen Lösungsweg freuen.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die beiden Ebenen:$$E_1\colon\quad 2x-y-3z=1\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=1$$$$E_2\colon\quad 2x-y-z=-7\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=-7$$

Da die beiden Normalenvektoren nicht kollinear zueiander sind (also bis auf einen konstanten Faktor gleich), liegen die Ebenen nicht parallel zueinander und schneiden sich daher in einer Geraden.

Alle Punkte auf dieser Geraden müssen beide Ebenengleichungen zugleich erfüllen. Wir subtrahieren \(E_1\) von \(E_2\) und finden:$$E_2-E_1\colon (2x-y-z)-(2x-y-3z)=-7-1\implies 2z=-8\implies z=-4$$Das setzen wir in eine der Ebenengleichungen ein, z.B. in \(E_1\):$$2x-y-3z=1\implies2x-y+12=1\implies y=2x+11$$

Damit können wir nun alle Punkte auf der Schnittgeraden angeben:

$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\2x+11\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\11\\-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x\\2x\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\11\\-4\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$$

Answer 2

Die Ebenen schneiden sich, weil die Normalenvektoren linear unabhängig sind. Es ist zudem von dir noch die Schnittgerade zu ermitteln. Schaue mal im Mathebuch nach wie man das macht.

Zur Kontrolle. Eine Geradengleichung könnte so aussehen.

X = [0, 11, -4] + r * [1, 2, 0]

Answer 3

E₁ in Normalenform \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\-3 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=1

(-3,5|0|0), (0|7|0) und (0|0|7) sind Punkte auf E₂. Bestimme eine Parameterform von E2 und setze sie in E1 ein. Das ergibt eine Beziehung zwischen den Parametern, die wiederum in die Parameterform eingesetzt wird.