Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der zwei Ebenen und bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade.

Question

E_{1 :} Vektor x  = (3/4/3) + r* (-1/-1/2) + s* (3/1/-2)

E₂ : Vektor x = (12/-4/-2) + v*( -2/5/-1) + w* (1/2/-1)

meine Lösung: g_S : Vektor x = (24/11/-11) + r*(5/1/-2)

meine Frage: Ist meine Lösung richtig?

Ich habe zunächtst geschaut, ob die Ebenen zueinander orthogonal sind, das war nicht der Fall, weshalb ich direkt die Schnittgerade aufgestellt habe. Ich habe E₂ in die Koordinatenform umgeformt und so weitergerechnet.

Die Lösung aus dem Buch hat mich ein wenig verwirrt.

Beste Grüße

Answer 1

E_{1 :} Vektor x  = (3/4/3) + r* (-1/-1/2) + s* (3/1/-2) 

E₂ : Vektor x = (12/-4/-2) + v*( -2/5/-1) + w* (1/2/-1)

Ich wandel meist beide Geraden in die Koordinatenform um

E1: 2y + z = 11

E2: x + y + 3z = 2

Der Richtungsvektor der Schnittgeraden ist das Kreuzprodukt der Normalenvektoren

N = [0, 2, 1] x [1, 1, 3] = [5, 1, -2]

Comments

Das Kreuzprodukt  ist für den GK irrelevant, weshalb wir das nicht besprochen haben.

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Du kannst auch die Ebenen gleichsetzen

[3, 4, 3] + r·[-1, -1, 2] + s·[3, 1, -2] = [12, -4, -2] + v·[-2, 5, -1] + w·[1, 2, -1]

Löse das jetzt nach r, s und v auf. Wenn du v hast kannst du allerdings gleich schon einsetzen

r = (w - 10)/3 ∧ s = (2·w + 1)/3 ∧ v = (7 - w)/3

Wir setzen v ein

[12, -4, -2] + ((7 - w)/3)·[-2, 5, -1] + w·[1, 2, -1]

= [(5·w + 22)/3, (w + 23)/3, - (2·w + 13)/3]

= [22/3, 23/3, - 13/3] + w·[5/3, 1/3, - 2/3]

= [9, 8, -5] + w·[5, 1, - 2]