Optimierung Summe der Quadrate der Abstände von festen Punkten und Punkten auf einem Kreis

Question

Gegeben: \( A(0,0), B(4,0) \) und Kreis \( K \) mit \( r=3 \) um \( M(5,4) \) Gesucht: \( C_{1} \) und \( C_{2} \) auf dem Kreis K, sodass die Summe der Quadrate \( \overline{A C}^{2}+\overline{B C}^{2} \) minimal, bzw. maximal wird.

Komme da garnicht drauf, wüsste da jemand weiter??

Answer 1

Wir betrachten den Punkt \(C=(c_1|c_2)\). Dann lässt sich \(\overline{AC}^2+\overline{BC}^2=c_1^2+c_2^2+(c_1-4)^2+c_2^2\) als Hauptbedingung angeben (Satz des Pythagoras bzw. Längenformel für Vektoren). Da \(C\) auf dem Kreis um \(M\) mit dem Radius 3 liegt, muss die Gleichung \((c_1-5)^2+(c_2-4)^2=9\) erfüllt werden. Das ist die Nebenbedingung. Diese kann man nun nach \(c_1\) oder \(c_2\) auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen. Dann erhält man eine Zielfunktion, die man minimieren bzw. maximieren kann.

Comments

Danke für den Ansatz! Könntest du mir aber genauer erklären wie du mit Pythagoras auf die Hauptbedingung kommst? Das leuchtet mir noch nicht so ein…

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Zeichne zwei Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie zu einem rechtwinkligen Dreieck. Die Katheten sind dann die Differenz der Koordinaten.

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Das Dreieck ABC₁ ist bei C₁ rechtwinklig, M ist der Mittelpunkt zwischen C₁ und C₂.

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Allgemeine (im Gegensatz zu der nur für diese speziellen Zahlenwerte gültigen Aussage über die Rechtwinkligkeit) Konstruktion : Die Punkte C ergeben sich als Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden durch M und den Mittelpunkt zwischen A und B.

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Könntest du mir aber genauer erklären wie du mit Pythagoras auf die Hauptbedingung kommst? Das leuchtet mir noch nicht so ein…

Die Hauptbedingung ist doch gegeben:$$H(C) = \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 \to \min, \max$$Die Nebenbedingung ist: "\(C\) liegt auf dem Kreis um \(M\)"$$(C-M)^2 = 3^2 \implies \overline{MC} = 3^2$$Du sollst wahrscheinlich den Lagrange damit üben. Brauchen tust Du ihn hier nicht, wie hj2166 schon vermerkt hat, sind die Schnittpunkte der Geraden durch den Mittelpunkt von \(A\) und \(B\) und durch \(M\) mit dem Kreis die Lösung.

Die Bedingung: "Die Summe der Quadrate der Strecken eines Punktes \(C\) von zwei Punkten \(A\) und \(B\) ist konstant" ist ein Kreis. Diese Info purzelt spätestens aus der HB, wenn Du diese ausmultiplizierst.

Diesen Kreis habe ich oben rot dargestellt und seine Berührpunkte mit dem Kreis um \(M\) (blau) sind die gesuchten Extrema.

Answer 2

Ich könnte es mir so vorstellen:

Comments

Es soll aber die Summe (!) der Quadrate maximal bzw. minimal werden.

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Die kürzeste Strecke von A zum Kreis ist in der Zeichnung zu sehen. Also ist \( \overline{A C}^{2} \)das kleinste Quadrat . Ebenso ist es bei der Stecke ab B.

Die Summe der Quadrate ist demnach minimal.

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Ich verstehe das so, dass jeweils ein Punkt gesucht, wird so dass die Summe maximal bzw. minimal wird und nicht zwei verschiedene Punkte.

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Das Problem könnte an einer unscharfen Aufgabenstellung liegen.

Answer 3

Bei solchem Kreis-Abstands-Betrags-Klimbim hilft oftmals folgende Parametrisierung mit Polarkoordinaten:

Kreis \(K\):

\( (x(t),y(t)) = (5,4)+3(\cos t,\sin t)\) mit \(t\in [0,2\pi] \quad (1)\)

Die Summe der Abstandsquadrate bzgl. \(A,B\) ist

\(f(x,y) = x^2+y^2 + (x-4)^2+y^2 = x^2+(x-4)^2+2y^2\)

Jetzt die Parametrisierung des Kreises einsetzen und tief durchatmen und stoisch ausmultiplizieren und an \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\) denken:

\(g(t) = f(x(t),y(t)) = ... \) ... rechne-rechne...

\(= 76 + 36\cos t + 48 \sin t= 76 + 12(3\cos t + 4 \sin t)\)

Wir müssen also nur noch Minimum und Maximum von

\(3\cos t + 4 \sin t\)

bestimmen. (Deshalb ist diese Methode so hübsch.)

Man kann nun per trigonometrischem Additionstheorem weiterrechnen oder man benutzt - wie ich jetzt - die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:

\(|3\cos t + 4\sin t| \leq \sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 5\)

Gleichheit gilt, wenn \((x,y)= (\cos t ,\sin t)\) parallel bzw. antiparallel zu \((3,4)\) ist, also wenn gilt (wir normieren \((3,4)\))

\((x,y)= \pm\frac 15 (3,4)\).

Damit erhalten wir (Einsetzen in (1)):

Minimum bei \((x,y)=\frac 15(16,8):\: f(x,y) = 76-60 = 16\)

Maximum bei \((x,y)=\frac 15(34,32):\: f(x,y) = 76+60 = 136\)