Ist es möglich, diese Ungleichung so umzuformulieren, dass die Indizes A und B getrennt werden?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei folgende Ungleichung:

(x_A+x_B)/(z_A+z_B) > 2*x_B/y_B

Ist es möglich, diese Ungleichung so umzuformulieren, dass die Indizes A und B getrennt werden? Im Moment stehen auf der rechten Seite nur Variablen für den Index B. Aber auf der linken Seite stehen Variablen für beide Indizes A und B. Ich frage mich jedoch, ob die Ungleichung so umformuliert werden kann, dass auf der linken Seite nur Variablen mit Index A und auf der rechten Seite nur Variablen mit Index B stehen?

Die Variablen x_A und x_B können positiv oder negativ, aber niemals Null sein. Die Variablen z_A, z_B und y_B sind immer größer als Null, also nie Null oder negativ.

Problem/Ansatz:

Ich forme jetzt schon eine Weile hin und her. Aber weder das Beseitigen von Brüchen noch das Multiplizieren mit 1 (also z.B. mal y_B/y_B) bringt mich weiter. Ich scheitere einfach an der Summe z_A+z_B im Nenner auf der linken Seite. Es bleibt immer etwas auf der falschen Seite stehen. Kann natürlich sein, dass das nicht lösbar ist. Vielleicht kenne ich aber auch einfach nicht den richtigen Trick. Deshalb bitte ich hier um Hilfe und würde mich sehr freuen, wenn ich etwas dazu lernen könnte.

Answer 1

Hallo,

Willkommen in Der Mathelounge!

Gegeben sei folgende Ungleichung:$$\frac{x_A+x_B}{z_A+z_B} \gt \frac{2x_B}{y_B}$$Ist es möglich, diese Ungleichung so umzuformulieren, dass die Indizes A und B getrennt werden?

Ich denke nicht! Was du möchtest ist eine Ungleichung von dieser Form$$f(x_A,z_A) \gt g(x_B,y_B,z_B)$$

Ich scheitere einfach an der Summe z_A+z_B im Nenner

Ja genau. Diese Summe hat irgendeinen Wert \(s=z_A+z_B\) und dieser Wert geht hier als Faktor ein und bleibt konstant, egal, wie Du diese Summe unter den Summanden \(z_A\) und \(z_B\) aufteilst. Und die Ungleichung oben soll immer gelten - also$$\begin{aligned} f(x_A,0) &\gt g(x_B,y_B, s) \\ f(x_A,s) &\gt g(x_B,y_B,0)\end{aligned}$$da ist zwar kein Beweis (den gibt es wahrscheinlich auch!), aber zeigt doch anschaulich, dass diese Aufteilung so nicht funktioniert.

Wenn Du uns mehr über den Kontext der Ungleichung und die Motivation dieser versuchten Umformung verrätst, kann man vielleicht besser helfen.

Gruß Werner

Comments

Ich habe noch mal drüber nachgedacht. Mein Argument oben ist zu schwach.

lass uns Deine Ungleichung reduzieren auf$$\frac{x_A}{z_A+z_B} \gt f_B$$Mit \(z_A+z_B\gt 0\) lässt sich das umwandeln zu $$\begin{aligned} \frac{x_A}{z_A+z_B} &\gt f_B\\ x_A &\gt f_Bz_A + f_Bz_B &&|\,f_Bz_B = g_B \\x_A - f_Bz_A - g_B &\gt 0 \end{aligned} $$und das lässt sich nicht so umformen, dass alles mit Index \(A\) auf einer Seite und mit Index \(B\) auf der anderen Seite steht. Um das Produkt in der Mitte aufzulösen, muss immer durch einen Ausdruck mit \(A\) bzw. \(B\) geteilt/multiliziert werden, was dann einen gemischten Quotienten oder ein gemischtes Produkt bei den anderen Sumanden zur Folge hat. Du wirst es also nicht los!

Und wenn es bei diesem vereinfachten Ausdruck nicht geht, so geht es bei dem Original-Ausdruck sicher auch nicht.

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Hallo Werner,

vielen Dank für die beiden Rückmeldungen. Ich hatte schon befürchtet, dass ich das gemischte Produkt (oder den gemischten Quotienten, je nachdem, wie ich es angehe) nicht mehr loswerde. Aber deine Bestätigung hilft mir (und hoffentlich auch anderen), es jetzt nicht mehr weiter zu versuchen.

Viele Grüße Daniel