Für alle Indizes Ungleichung beweisen

Question

Wir haben eine rekursive Folge: $$ { x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 4+{ x }_{ n } } $$

Und man muss diese Ungleichung für alle Indizes n beweisen!!!!!! :

$$ \left| { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n } \right| \le \frac { 1 }{ 4\cdot { 16 }^{ n } } $$

Dabei sind nützilche Formeln:

$$ { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n }=\frac { { x }_{ n-1 }-{ x }_{ n } }{ (4+{ x }_{ n-1 })\cdot (4+{ x }_{ n }) }  $$

$$ { |x }_{ n+1 }-{ x }_{ n }|\le \frac { { |x }_{ n }-{ x }_{ n-1 }| }{ 16 }  $$
Habe keine Ahnung wie kann man sie lösen(((

!!!

Comments

Und nebenbei ist das x1 zu finden, dass dies gilt ?

Oder ist ein x1 auch noch gegeben?

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x0 = 0 ist gegeben

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Wie kann man diese Ungleichung beweisen?

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Hast du es schon mit einem Ansatz über die vollständige Induktion gemacht. zeige das es für n = 0 gilt.

Versuche dann zu zeigen, dass es für n + 1 gilt unter der Bedingung das es für n gilt.

Scheue dich nicht auch mal Sackgassen auszuprobieren. Umdrehen und weitermachen hilft eventuell

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Ich habe schon mithilfe vollständige Induktion probiert. Aber es geht nicht. Könntest du bitte zeigen? Weil ich nicht so klug wie du bin. :)

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Den Induktionsansatz bekommst du ganz sicher auch selber hin. Da bin ich mir sehr sicher. Und das gute ist du zeigst auch aktiv, dass du selber versuchen möchtest es hinzubekommen.

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Was muss man weiters machen? 

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Was denkst du?

Answer 1

ein einfacher Induktionsbeweis zeigt, dass \(x_n\ge0\) für alle \(n\in\mathbb N_0\) ist.
Zeige: \(\vert x_{n+1}-x_n\vert\le\dfrac1{4\cdot16^n}\) für alle \(n\in\mathbb N_0\).

Man rechnet leicht nach, dass die Aussage für \(n=0\) gilt.

Zu zeigen ist, dass die Aussage für \(n+1\) gilt, falls sie für ein \(n\ge0\) gilt.$$\vert x_{n+2}-x_{n+1}\vert=\left\vert\frac1{4+x_{n+1}}-\frac1{4+x_n}\right\vert=\left\vert\frac{x_n-x_{n+1}}{(4+x_{n+1})\cdot(4+x_n)}\right\vert$$$$\qquad\qquad\qquad\le\frac{\vert x_{n+1}-x_n\vert}{16}\le\frac1{16}\cdot\frac1{4\cdot16^n}=\frac1{4\cdot16^{n+1}}.$$Gruß