Ungleichung |1/x| + 5/(3x) ≥ 8 beweisen für alle reellen x.

Question

wie gehe ich an so eine Aufgabe ran? Wie gehe ich hier mit dem Betrag um?

Comments

Tipp: setze der Einfachhheit wegen zuerst 1/x=z

und löse die Ungleichung |z|+5z/3>=8

durch Fallunterscheidung.

Löse zum Schluss nach x auf.

---

Also zum beispiel |z|<1:

Und z=0 was ja nicht geht, weil es sonst durch 0 wäre

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

Unterscheide die Fälle $x>0$ und $x<0$. $x=0$ scheidet sofort aus, da außerhalb des Definitionsbereichs.

Fall 1.) $x>0$: multipliziere mit $x$

$$\left| \frac{1}{x} \right| x + \frac{5}{3} \ge 8x$$

Da der Ausdruck $\left| \frac{1}{x} \right| x$ für $x>0$ immer $=1$ ist, folgt aus obiger Gleichung inklusive der Bedingung $x>0$:

$$1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}\ge 8x \quad \Rightarrow 0 \lt x \le \frac{1}{3}$$

Fall 2.) $x<0$: multipliziere wieder mit $x$ - diesmal darauf achten dass aus $\ge$ ein $\le$ wird:

$$\left| \frac{1}{x} \right| x + \frac{5}{3} \le 8x$$

und das $\left| \frac{1}{x} \right| x$ ist diesmal $=-1$, da $x \lt 0$:

$$-1 + \frac{5}{3} = \frac{2}{3}\le 8x \quad \Rightarrow x \ge \frac{1}{12}$$

das ist aber ein Widerspruch  zur Bedingung $x < 0$. Es gibt keinen Wert für $x$ der gleichzeitig kleiner 0 und größer als $\frac{1}{12}$ ist. Es bleibt also die Lösung aus Fall 1 über.

$$\mathbb{L} = \{ x \in \mathbb{R} | \space 0 \lt x \le \frac{1}{3} \}$$ Gruß Werner

Answer 2

$| \frac{1}{x} | + \frac{5}{3x} ≥ 8$

$| \frac{1}{x} | ≥ 8-\frac{5}{3x} |^{2}$

$\frac{1}{x^2} ≥ 64-\frac{80}{3x} +\frac{25}{9x^2} |\cdot9x^2$

$64\cdot 9x^2-240x≤-16$

$x^2-\frac{5}{12}x≤-\frac{1}{36}$

$(x-\frac{5}{24})^2≤-\frac{1}{36}+(\frac{5}{24})^2=\frac{1}{64}|±\sqrt{~~}$

1.)

$x-\frac{5}{24}≤\frac{1}{8}$

$x_1≤\frac{3}{24}+\frac{5}{24}=\frac{1}{3}$

Probe:

$| \frac{1}{\frac{1}{3}} | + \frac{5}{3\cdot \frac{1}{3}} = 8$  ✓

2.)

$x-\frac{5}{24}≥-\frac{1}{8}$

$x_2≥\frac{5}{24}-\frac{3}{24}=\frac{1}{12}$

Probe:
$| \frac{1}{\frac{1}{12}} | + \frac{5}{3\cdot \frac{1}{12}} = 8$ stimmt nicht

Lösung:

$(0,\frac{1}{3}]$