Hallo Sonnenblume,
Unterscheide die Fälle \(x>0\) und \(x<0\). \(x=0\) scheidet sofort aus, da außerhalb des Definitionsbereichs.
Fall 1.) \(x>0\): multipliziere mit \(x\)
$$\left| \frac{1}{x} \right| x + \frac{5}{3} \ge 8x$$
Da der Ausdruck \(\left| \frac{1}{x} \right| x\) für \(x>0\) immer \(=1\) ist, folgt aus obiger Gleichung inklusive der Bedingung \(x>0\):
$$1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}\ge 8x \quad \Rightarrow 0 \lt x \le \frac{1}{3}$$
Fall 2.) \(x<0\): multipliziere wieder mit \(x\) - diesmal darauf achten dass aus \(\ge\) ein \(\le\) wird:
$$\left| \frac{1}{x} \right| x + \frac{5}{3} \le 8x$$
und das \(\left| \frac{1}{x} \right| x\) ist diesmal \(=-1\), da \(x \lt 0\):
$$-1 + \frac{5}{3} = \frac{2}{3}\le 8x \quad \Rightarrow x \ge \frac{1}{12}$$
das ist aber ein Widerspruch zur Bedingung \(x < 0\). Es gibt keinen Wert für \(x\) der gleichzeitig kleiner 0 und größer als \(\frac{1}{12}\) ist. Es bleibt also die Lösung aus Fall 1 über.
$$\mathbb{L} = \{ x \in \mathbb{R} | \space 0 \lt x \le \frac{1}{3} \}$$ Gruß Werner
