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Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen: 

habe hier Probleme auf die Lösungsmenge zu kommen.

bei A) habe ich 7 rausbekommen wie komme ich auf 1/3?

bei B) habe ich noch nichts eventuell mit hilfe der pq-formel?? Bitte um Tipps und Lösungswege.

(a) 2 Ix - 2I < I3 + xI                        Lösung: L = {1/3   ;   7}


(b) ( 1) ( 3) ( 1) 0 2 x  x  x      Lösung: L (1,3)

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2 Ix - 2I < I3 + xI        soll wohl = heißen .                für x<2 und  x>-3  :   2*( -x + 2 )  =  3+x

                                   -2x + 4 = 3+x
                                            1 = 3x                                           1/3  =  x


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2 Ix - 2I < I3 + xI  

~plot~ 2 abs(x - 2); abs(3 + x);[[-7|9|-1|12]] ~plot~ 

2 Ix - 2I < I3 + xI 

Nun suchst du den Bereich, in dem der eine der Graphen unterhalb vom andern liegt. Als Lösungsmenge ergibt sich das offene Intervall (1/3 | 7) 

D.h. in der Musterlösung werden die falschen Klammern verwendet oder du hast eine Betragsgleichung.

2 Ix - 2I < I3 + xI          | ^2 

4(x-2)^2 < (3+x)^2  | quadratische Ungleichung  

4(x^2 - 4x + 4) < 9 + 6x + x^2  

4x^2 - 16x + 16 < 9 + 6x + x^2 

3x^2 - 22x + 7 < 0

Hier kannst du, wenn du willst die abc-Formel verwenden und dazu noch ablesen, dass die Parabel mit der Gleichung 3x^2 - 22x + 7 nach oben geöffnet ist.

Mit etwas zoomen siehst du die Lösungsmenge dann hier:  

~plot~ 3x^2 - 22x + 7 < 0;x=1/3;x=7;[[-7|9|-1|2]] ~plot~


 

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Anwenden der dritten binomische Formel liefert sofort die faktorisierte Form ohne die Quadrate auszumultiplizieren.

Natürlich. So hast du die Schnittstellen schneller. 

Du musst dann aber doch nicht überlegen, welcher Zahlenbereich rauskommt. 

4(x-2)2 < (3+x)2  

4(x-2)2 - (3+x)2  < 0

(2(x-2) + (3+x))(2(x-2) - (3+x)) < 0

(2x - 4 + 3 + x)(2x-4 - 3 - x) < 0

(3x - 1)(x - 7) < 0

Exakt 0 für x1= 1/3 und x2 = 7.

Zwischen den beiden Werten ist einer der Faktoren positiv und der andere neg.

Also L = (1/3,7) . 

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