Lösungsmenge folgender Ungleichung berechnen: x^2+3x+4>4*Ix+2I

Question

nun hätte ich da noch eine Frage zu Ungleichungen.

gegeben ist folgende Ungleichung: x^2+3x+4 > 4*Ix+2I  (I= Betragsstriche) 

Ich habe die Ungleichung zu einer quadratischen Gleichung ungeformt und die p-q-Formel angewandt. Dadurch kam ich auf die Ergebnisse

x²-1x-4=0 

x₁= 2,56

x₂= -1,56

Ist das richtig, oder kann man das nicht so machen? 

Answer 1

Hi,

Du musst schon eine Fallunterscheidung machen. Dafür hast Du ja den Betragsstrich :).

Fall 1: x ≥ -2

Hier kannst Du den Betragsstrich einfach wegfallen lassen:

x^2+3x+4 > 4*(x+2)

x^2-x-4 > 0

x_(1) > 2,56 und x_(2) < -1,56

Mit der Anfangsbedingung also x > 2,56 oder -2 ≤ x < -1,56

Fall 2: x ≤ -2

Betragsstrich auflösen:

x^2+3x+4 > -4*(x+2)

x^2+7x+12 > 0

x_(3) < -4 und x_(4) > -3

Mit der Anfangsbedinung also x < -4 oder -3 < x ≤ -2

Das jetzt alles zusammenfassen:

1. x < -4

2. -3 < x < -1,56

3. x > 2,56

L = { x ∈ R | x < -4 ∨ -3 < x < -1,56 ∨ x > 2,56}

Grüße

Comments

Vielen lieben Dank jetzt nach ein paar Übungsaufgaben, habe ich es endlich verstanden. Sehr, sehr gut und verständlich erklärt! 

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Dein Lob freut mich und gerne :). Viel Spaß bei weiteren Aufgaben haha

Answer 2

Du hast die Betragsstriche und das Ungleichheitszeichen einfach ignoriert. Das stimmt dann nicht so ganz. 

x²+3x+4 > 4*Ix+2I  (I= Betragsstriche)  

1. Fall x≥ -2 

x²+3x+4 > 4*(x+2) 0 4x + 8 

x²-1x-4 > 0 

Für

x₁= 2,56 und 

x₂= -1,56 gilt "= 0". Rechts von x1 und links von x2 gilt "> 0"

Wegen 1. Fall x≥ -2  hast du L1 = { x Element R | -2 ≤ x < -1.56 oder x > 2.56}

2. Fall x< -2

x²+3x+4 > 4*(-1)(x+2)  = -4x - 8

x²+ 7x + 15 > 0

nun diesen Fall noch fertig rechnen und dann beide Lösungsmengen vereinigen. 

Schlussendlich bekommst du die Gebiete, in denen einer der Graphen unterhalb vom andern liegt:

~plot~ x^2+3x+4 ; 4*abs(x+2);x=-1.56 ; x=2.56; [[-6|6|-2|20]] ~plot~ 

Answer 3

Ich hätte es so gemacht:

x^2 + 3·x + 4 > 4·|x + 2|

Fall 1: x ≤ -2

x^2 + 3·x + 4 > -4·(x + 2)

x^2 + 3·x + 4 > -4·x - 8

x^2 + 7·x + 12 > 0

x < -4 ∨ x > -3 und x ≤ -2

x < -4 ∨ -3 < x ≤ -2

Fall 2: x ≥ -2

x^2 + 3·x + 4 > 4·(x + 2)

x^2 + 3·x + 4 > 4·x + 8

x^2 - x - 4 > 0

x < 1/2 - √17/2 ∨ x > √17/2 + 1/2 und x ≥ -2

-2 ≤ x < 1/2 - √17/2 ∨ x > √17/2 + 1/2

-2 ≤ x < -1.562 ∨ x > 2.562

Answer 4

x² + 3x + 4 > 4 * I x + 2 I

Fallunterscheidung

x + 2 ist positiv
x + 2 >= 0  => x > -2
Es gilt
x² + 3x + 4 > 4 * ( x + 2 )

-1.56 < x < 2.56
zusammen mit der Eingangsvorausetzung x > -2
ergibt sich

-1.56 < x < 2.56

x + 2 ist negativ
x + 2 < 0  => x < -2
Es gilt
x² + 3x + 4 > 4 * ( x + 2 ) * (-1)

- 4 < x < -3
zusammen mit der Eingangsvorausetzung x < -2
ergibt sich

- 4 < x < -3

Comments

Korrektur
Die Bereiche oberhalb der x-Achse sind die
Lösungsmenge.

Ansonsten die Frage : was oder wie hast du gerechnet.