Lösungsmenge bei Ungleichung bestimmen. |x-2| ≥ |4-3x| + 1

Question

Bestimmen Sie die Lösungsmenge bei der Ungleichung:

|x-2| ≥ |4-3x| + 1

Comments

wird wie eine "normale" Gleichung behandelt - mit der Ausnahme der Fallunterscheidung.

Und noch die Regeln wann das Relationszeichen die Richtung wechselt.

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Also ich hab das jetzt ohne fallunterscheidung versucht geht das?

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Wenn Du eine Gleichungsseite behandelst, muss das für die GESAMTE Seite geschehen! Leider ist Dein Ansatz nicht richtig. Erschwerend kommt hinzu, dass mit der Quadrierung und Wurzel danach Lösungen verloren gehen. Also selbst wenn Du das richtig durchgeführt hättest, ware die Aufgabe nicht vollständig gelöst.

Bei Ungleichungen kommt man um die Fallunterscheidung absolut nicht herum.

Answer 1

die Lösungsmenge ist leer. Die linke Seite der Gleichung
( blau ) liegt stets unter der rechten Seite ( rot ).

mfg

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Danke für die ausführliche Antwort hab jetzt so auch die d gelöst stimmt das so

Answer 2

Kontrolliere dein Resultat erst mal hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%7Cx-2%7C+≥+%7C4-3x%7C+%2B+1

Da stimmt also noch etwas / einiges nicht in deiner Rechnung. Vgl. auch Kommentar von jf902.

|x-2| ≥ |4-3x| + 1,

Nun die Stellen, wo etwas geschieht: x= 2 und x = 4/3.  Also

1. Fall x< 4/3, 

 -(x-2) ≥ (4-3x) + 1,

-x + 2 ≥ 5-3x,

2x ≥ 3,

x ≥ 3/2           L1 = {} leere Menge

2. Fall 4/3 ≤ x≤ 2, 

 -(x-2) ≥ -(4-3x) + 1,

-x + 2 ≥ -3+3x,

5 ≥ 4x,

5/4 ≥ x

L2 = {}  leere Menge

3. Fall 2<x, 

 (x-2) ≥ -(4-3x) + 1,

x - 2 ≥ -3+3x,

1 ≥ 2x,

1/2 ≥ x

L3 = {}  leere Menge

Total:

L = L1 u L2 u L3 = {}

Answer 3

Es geht auch ohne Fallunterscheidung. Quadrieren liefert die Ungleichung

$$(4x-5)^2+1+4\cdot\vert3x-4\vert\leq0,$$

die offensichtlich keine reelle Lösung hat.

Wie man auf die Lösung kommt: Beide Seiten der Ungleichung sind für alle \(x\in\mathbb R\) stets nichtnegativ. Das Ungleichheitszeichen bleibt also beim Quadrieren erhalten. Es folgt$$\quad x^2-4x+4\ge9x^2-24x+16+2\cdot\vert3x-4\vert+1$$$$\Leftrightarrow0\ge8x^2-20x+13+2\cdot\vert3x-4\vert$$$$\Leftrightarrow0\ge\frac12\big((4x-5)^2+1\big)+2\cdot\vert3x-4\vert$$$$\Leftrightarrow0\ge(4x-5)^2+1+4\cdot\vert3x-4\vert.$$

Comments

Bei der 3.Zeile konnte man auch schon erkennen, dass die Aussage nicht stimmt. Ansonsten: ein schöner Nachweis.