Question

Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen?

a) |-x² - 9| < |x - 1|

b) |x - 1| ≥ |x + 2|

c) -x² ≤ x + 4

$$d) \frac{x-1}{x + 1}< 1 (x≠1)$$

Comments

Überlege dir, wie die Graphen der Beträge verlaufen.

d) ist keine Ungleichung

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Sry, hab es korrigiert.

Answer 1

|-x^2 - 9| < |x - 1|

Da -x^2-9 immer negativ ist, ist der Betrag x^2 + 9.

Also brauchst du nur

x^2 + 9 < | x-1| zu lösen.

1. Fall x≥1 dann ist es

   x^2 + 9 < x-1

<=> x^2 -x + 10 < 0

Der Graph zur Funktion mit dem Funktionsterm x^2 -x + 10

ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel (0,5 ; 9,75 ), also

sind die Funktionswerte nie negativ. Somit

keine Lösungen bei Fall 1.

2. Fall x<1 dann ist es
    x^2 + 9 < -x+1

<=> x^2 + x + 8 < 0

Hier ist der Scheitel ( -0,5 ; 7,75 ), also auch keine Lösungen.

Zeigt auch die Grafik: Die Parabel liegt immer über dem anderen Graphen.

~plot~ x^2 + 9 ; abs(x - 1);[[-5|5|-1|12]] ~plot~

Answer 2

|x - 1| ≥ |x + 2|
auf beiden Seiten steht Positives
es gilt daher auch
( x-1) ^2 ≥ ( x + 2 )^2

x^2 - 2x + 1 ≥ x^2 + 4x + 4
-2x - 4x ≥ 4 - 1
-6x ≥ 3  * -1
6x ≤ -3
x ≤ - 0.5

Comments

-x^2 ≤ x + 4
-x^2 - x ≤ 4  | * -1
x^2 + x ≥ -4
x^2 + x + 1^2 ≥ -4 + 1
( x + 1 ) ^2 ≥ -3

Immer

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( x - 1 ) / ( x + 1 ) < 1 ( x ungleich minus 1 )

1.Fall x < -1
es gilt
( x - 1 ) > 1 *  ( x + 1 )
x -1 > x + 1
-1 > 1
falsch

2.Fall x > -1
es gilt
( x - 1 ) < 1 *  ( x + 1 )
x -1 < x + 1
-1 < 1
richtig
Lösung x > -1

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muss man nicht auch -x + 1 >=  x+1 nehmen?

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Beschreib die Stelle in den Berechnungen bei mir einmal genauer.

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|x - 1| ≥ |x + 2|

muss man da nicht einfach einmal: x-1 >= -(x+2) & x-1 >= x+1 rechnen?

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Aus
|x - 1| ≥ |x + 2|
folgt nicht
x - 1 ≥ x + 2

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Und warum hat mathef eine andere ähnliche Aufgabe ganz anders gelöst? AUFGABE a)

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Der Lösungsweg von mathef ist
dort einfacher.

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Kann man den selben Weg auf b) anwenden?

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Ich hoffe du meinst bereits jetzt : ja.

|x - 1| ≥ |x + 2| | quadrieren
( x - 1 ) ^2  ≥ (x + 2|)^2
x^2 - 2x + 1 ≥ x^2 + 4x + 4
-2x - 4x ≥ 4 - 1
- 6x ≥ 3  | : - 6
x ≤ - 1/2

Probe mit -1/2
|x - 1| ≥ |x + 2| |
3/2 ≥ 3/2

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Wären 4 Fälle auch zulässig? (bei Aufgabe a) )?

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Du meinst bei
|-x^2 - 9| < |x - 1| 4 Fallunterscheidungen ?
- x^2 - 9 = 0
-9 = x^2 geht nie

x - 1 = 0
x = 1

2 zu untersuchende Fälle :
x > 1
und
x < 1

Answer 3

d) 1. Fall:

x>-1

x-1<x+1

-1< +1 gilt immer → L = {x|x>-1}

2. Fall:

x<-1

x-1 >x+1

-1>1 falsch -> keine Lösung

--> Gesamtlösungsmenge L= {x|x>-1}