Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen folgender Ungleichungen und stellen Sie die Lösungsmengen graphisch dar.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen folgender Ungleichungen und stellen Sie die Lösungsmengen graphisch dar:
a) \( x^{2}-4|x-1|>0 \).

Problem/Ansatz:

Falls ich falsch liege, kann mir jemand den Lösungsweg zeigen?

Answer 1

Nein, es sind viel mehr reelle Zahlen, die gehen. Berechne die Nullstellen der Funktion:

ich habe x₁ = 2 x₂ = -2√2-2 und x₃ = 2√2-2 und achte auf die y-Werte zwischen den Nullstellen:

zwischen f(x₂) und f(x₃ ) sind die y-Werte negativ, also sind nicht in der Lösungsmenge enthalten.

Zwischen f(x3) und f(x₁) sind die y-Werte größer als 0, also sind sie in der Lösungsmenge enthalten

Und alle y-Werte sind für x größer als 2 positiv und für alle x kleiner als -2√2-2 auch positiv.

Heißt die Lösungsmenge ist:

{xIx<-2√2-2 V 2√2-2<x<2 V x>2}

Answer 2

Die Fallunterscheidung ist OK.

Aber dann im Fall 1 wird es zu

x^2 - 4*(x-1) > 0

x^2 - 4x + 4 > 0

 (x-2) ^2 > 0  und das stimmt ja fast immer,

nur für x=2 nicht.  Also ist bei x≥1 die Lösungsmenge [1 ; 2 [ ∪ ] 2 , ∞ [ .

Und im Fall 2:

x^2 + 4*(x-1) > 0

<=>  x^2 + 4x - 4 > 0

<=>  x^2 + 4x +4 > 8

<=>  (x+2)^2 > 8

<=>  x+2 > √8   v x+2 < -√8

<=>  x > -2+√8  v x < -2-√8

Und da dies der Fall x<1 ist gilt die erste

Alternative nur für x > -2+√8   bis zur 1  und für diesen

Teil ist die Lösungsmenge ] -∞ ; -2-√8 [ ∪ ]-2+√8 , 1[

grafisch:  ~plot~ x^2 - 4*abs(x-1) ~plot~

Answer 3

Lösungsmenge={x|x<-√\( \frac{5}{4} \) - \( \frac{1}{2} \) ∨( x>√\( \frac{5}{4} \) - \( \frac{1}{2} \) ∧x≠2)}.

Comments

x darf nicht 2 sein, was größer als √(5/4)-1/2 ist, da die Ungleichung dann 0>0 wäre