Aloha :)
Versuche bei solchen Gleichungen immer, einen Vergleich gegen die Null anzustreben, da du dann oft nur auf die Vorzeichen von Faktoren achten musst:$$\frac{3x}{x-5}<2\quad\bigg|-2$$$$\frac{3x}{x-5}-2<0\quad\bigg|\text{Die \(2\) erweitern mit \((x-5)\)}$$$$\frac{3x}{x-5}-\frac{2(x-5)}{x-5}<0\quad\bigg|\text{Die Brüche zusammenfassen durch Summation der Zähler}$$$$\frac{\green{x+10}}{\red{x-5}}<0$$Ein Bruch ist genau dann negativ, wenn Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben:$$1)\;\green{x+10>0}\;\land\;\red{x-5<0}\implies \green{x>-10}\;\land\;\red{x<5}\implies -10<x<5$$$$2)\;\green{x+10<0}\;\land\;\red{x-5>0}\implies \green{x<-10}\;\land\;\red{x>5}\implies \text{keine Lösung}$$Als Gesamtlösung haben wir daher:\(\quad\boxed{-10<x<5}\)
Dasselbe funktioniert bei der nächsten Aufgabe:$$\frac{x^2-1}{6x-9}\ge1\quad\bigg|-1$$$$\frac{x^2-1}{6x-9}-1\ge0\quad\bigg|\text{Die \(1\) mit \((6x-9)\) erweitern.}$$$$\frac{x^2-1}{6x-9}-\frac{6x-9}{6x-9}\ge0\quad\bigg|\text{Die Brüche zusammenfassen durch Summation der Zähler}$$$$\frac{x^2-6x+8}{6x-9}\ge0\quad\bigg|\text{Zähler faktorisieren, im Nenner \(6\) ausklammern}$$Zum Faktorisieren von \((x^2\red{-6}x\green{+8})\) brauchen wir zwei Zahlen \(a\) und \(b\) mit der Summe \((\red{-6})\) und dem Produkt \((\green{+8})\). Das leisten die Zahlen \(a=-2\) und \(b=-4\).$$\frac{\green{(x-2)(x-4)}}{6\left(\red{x-\frac32}\right)}\ge0$$Ein Bruch ist genau dann \(>0\), wenn Zähler und Nenner dasselbe Vorzeichen haben. Hier darf der Zähler selbst sogar Null sein, weil in der Ungleichung ja \(\ge0\) gefordert ist.
$$1)\; \red{x>\frac32}\implies\green{(x-2)(x-4)\ge0}\implies\left\{\begin{array}{l}x\ge2\;\land\;x\ge4\implies x\ge4\\x\le2\;\land\;x\le4\implies x\le2\end{array}\right.$$Dieser Fall liefert als Lösungen:\(\quad \frac32<x\le2\;\lor\;x\ge4\)
$$2)\; \red{x<\frac32}\implies\green{(x-2)(x-4)\le0}\implies\left\{\begin{array}{l}x\le2\;\land\;x\ge4\implies\text{keine Lösung}\\x\ge2\;\land\;x\le4\implies2\le x\le4\end{array}\right.$$Dieser Fall liefert keine Lösung, weil die rote Bedingung \(\red{x<\frac32}\) verletzt ist.
Als Gesamtlösung haben wir daher:\(\quad\boxed{\frac32<x\le2\;\lor\;x\ge4}\)
Bei der letzten Aufgabe, "lösen" wir die Betragsfunktion auf. Es ist klar, dass \(\red{x\ge\frac53}\) sein muss, damit die rechte Seite \(\ge0\) wird und die Ungleichung eine Lösung haben kann. Das setzen wir daher in der Rechnung voraus:$$|2x+3|\le5x-3\quad|\text{Betrag in zwei Ungleichungen auflösen}$$$$-(5x-3)\le2x+3\le(5x-3)\quad|\text{ganz links ausrechnen}$$$$-5x+3\le2x+3\le5x-3\quad|-3$$$$-5x\le2x\le5x-6\quad|+5x$$$$0\le7x\le10x-6$$Die erste Ungleichung \(0\le7x\) bzw. \(0\le x\) ist erfüllt, weil wir oben die "rote" Bedingung voraussetzen mussten. Es bleibt daher nur noch die zweite Ungleichung:$$7x\le10x-6\quad|-7x$$$$0\le3x-6\quad|+6$$$$6\le3x\quad|\div3$$$$x\ge2$$Diese Forderung ist stärker als \(\red{x\ge\frac53}\). Die Lösung lautet daher: \(\quad\boxed{x\ge2}\)
