Es ist zu zeigen, dass eine stetige, periodische Funktion die folgende Eigenschaft erfüllt.

Question

Aufgabe:

Es sei f:R nach R stetig, mit f(x)=f(x)+1 für alle x aus R.

Man muss zeigen, dass zu jedem c aus R ein x0 aus R gibt, sodass f(x0)=f(x0+c) gilt

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht auf die richtige Beweisidee, ich habe es schon versucht, direkt und mit Widerspruch zu beweisen, aber es ist bei mir nichts vernünftiges dabei rausgekommen.

Comments

Anscheinend ist hier \(f(x) =f(x+1)\) gemeint.

Answer 1

Wir wenden den Zwischenwertsatz an auf die Funktion

$$h(x):=f(x)-f(x+c)$$

Die stetige Funktion f besitzt auf dem Intervall [0,1] ein Minimum bei, sagen wir, a und ein Maximum bei b. Wegen der Periodizität sind diese auch ein globales Minimum bzw. Maximum. Daher gilt

$$h(a)=f(a)-f(a+c) \leq 0 \text{  und }h(b)=f(b)-f(b+c)\geq 0$$

Also hat h zwischen a und b eine NUllstelle.

Answer 2

Wähle f(x)=sin(2π·x), damit kannst du auch zeigen, dass es zu jedem c aus ℝ ein x₀ aus ℝ gibt, sodass f(x₀)=f(x₀+c) gilt.

Comments

Danke, das war auch eigentlich meine erste Idee gewesen mit dem Sinus.

Nun habe ich aber gedacht, dass sie von mir einen Beweis für eine beliebige Funktion f verlangen und deshalb war ich etwas irritiert, wie man diese Aussage dann genau beweisen könnte.