Aufgabe:
Text erkannt:
Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge. Sei außerdem \( \varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) eine streng monoton wachsende Abbildung, d.h. für \( k_{1}<k_{2} \in \mathbb{N} \) ist \( \varphi\left(k_{1}\right)<\varphi\left(k_{2}\right) \). Dann nennen wir die Folge \( \left(a_{\varphi(k)}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) eine Teilfolge von \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).
a) Sei \( \left(a_{n}\right) \) durch \( a_{n}:=\frac{1}{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gegeben. Geben Sie zu \( \varphi: \mathbb{N} \ni k \mapsto k^{2} \in \mathbb{N} \) die Teilfolge \( \left(a_{\varphi(k)}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) als explizite Folge von Zahlen (mindestens die ersten 5) an.
b) Es sei \( \left(a_{n}\right) \) durch \( a_{n}:=(-1)^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gegeben. Geben Sie eine konkrete streng monotone Abbildung \( \varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) an, so dass die Teilfolge \( \left(a_{\varphi(k)}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) konvergent ist, und begründen Sie diese Konvergenz.
Problem/Ansatz:
a aufgabe
Da hatte ich mich mit meiner Partnerin dran gesetzt und sie kam auf die Lösung
Bei an = 1/n
wären da Folgeglieder dann 1/2, 1/3, 1/4, 1/5
doch ich verstehe nicht wie sie darauf kommt, sie will nur so die Aufgabe abgeben? Doch da hat sie ja ohne irgendeine Begründung einfach nur das n mit Wahllos irgendwelchen Zahlen ersetzt? Aber das ist doch nicht sinn der Sache oder?
Bei
B)
Folge an = (-1)n
Orginalfolge wäre wenn man (zahlen einsetzt
-1,1,-1,1,-1,-1
Teilfolge wäre hier bei immer Graden Zahlen
1, 1, 1, 1 (wenn a2k =(-1)2k k Element von N
Bei immer ungraden Zahlen
-1 -1 -1 -1 (wenn a2k =(-1)1k k Element von N
Wenn mein Ansatz jetzt richtig ist nun weiß ich aber komplett nicht weiter
Kann mich jemand erhellen?