Teilfolgen einer streng Monoton wachsende Abbildung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge. Sei außerdem \( \varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) eine streng monoton wachsende Abbildung, d.h. für \( k_{1}<k_{2} \in \mathbb{N} \) ist \( \varphi\left(k_{1}\right)<\varphi\left(k_{2}\right) \). Dann nennen wir die Folge \( \left(a_{\varphi(k)}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) eine Teilfolge von \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).
a) Sei \( \left(a_{n}\right) \) durch \( a_{n}:=\frac{1}{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gegeben. Geben Sie zu \( \varphi: \mathbb{N} \ni k \mapsto k^{2} \in \mathbb{N} \) die Teilfolge \( \left(a_{\varphi(k)}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) als explizite Folge von Zahlen (mindestens die ersten 5) an.
b) Es sei \( \left(a_{n}\right) \) durch \( a_{n}:=(-1)^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gegeben. Geben Sie eine konkrete streng monotone Abbildung \( \varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) an, so dass die Teilfolge \( \left(a_{\varphi(k)}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) konvergent ist, und begründen Sie diese Konvergenz.

Problem/Ansatz:

a aufgabe

Da hatte ich mich mit meiner Partnerin dran gesetzt und sie kam auf die Lösung

Bei an = 1/n

wären da Folgeglieder dann 1/2, 1/3, 1/4, 1/5

doch ich verstehe nicht wie sie darauf kommt, sie will nur so die Aufgabe abgeben? Doch da hat sie ja ohne irgendeine Begründung einfach nur das n mit Wahllos irgendwelchen Zahlen ersetzt? Aber das ist doch nicht sinn der Sache oder?

Bei

B) 

Folge an = (-1)n

Orginalfolge wäre wenn man (zahlen einsetzt

-1,1,-1,1,-1,-1

Teilfolge wäre hier bei immer Graden Zahlen

1, 1, 1, 1  (wenn a_2k =(-1)^2k k Element von N

Bei immer ungraden Zahlen

-1 -1 -1 -1 (wenn a_2k =(-1)^1k k Element von N

Wenn mein Ansatz jetzt richtig ist nun weiß ich aber komplett nicht weiter

Kann mich jemand erhellen?

Answer 1

zu a)  Betrachte erst mal:  \( \varphi: \mathbb{N} \ni k \mapsto k^{2} \in \mathbb{N} \)

φ(1)=1^2 = 1   φ(2)=2^2 = 4  φ(3)=3^2=9    φ(4)=16    φ(5)=25  

Dann ist die Teilfolge

\( \left(a_{\varphi(k)}\right)_{k \in \mathbb{N}} \)  =  a₁  a₄   a₉    a₁₆    a₂₅  

also  \(   \frac{1}{1} , \frac{1}{4} , \frac{1}{9} ,   \frac{1}{16} , \frac{1}{25} \dots \)

b)  Du musst doch das φ angeben, das wäre dann

\( \varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N},  n \mapsto 2n\)