Überprüfe die folgenden Reihen auf Konvergenz.

Question

Hallo, bei folgender Aufgabe brauche ich Hilfe:

Überprüfe auf Konvergenz:

$\begin{array}{l}\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-2)^{n} \frac{n}{3^{n}+1} \\ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1+2 \cdot(-1)^{n}}{n}\end{array}$

bei der ersten Folge stört mich die (-2)ⁿ , da ich hier nicht weiß, ob man hier das Lebniz-Kriterium trotzdem anwenden kann, ich denke aber eher nicht

bei der zweiten Folge kriege ich es nicht hin, den Term so aufzuschreiben, dass man Leibniz-Kriterium auch anwenden könnte. Falls man die Aufgaben mit anderen Kriterien beantworten könnte, würde mir das natürlich auch reichen :)

Answer 1

Wenn dich die $(-2)^n$ stört, dann lasse das Minuszeichen einfach weg. Die Reihe konvergiert sogar absolut.
Zur zweiten Reihe betrachte die $2N$-ten Partialsummen:$$\sum_{n=1}^{2N}\frac{1+2{\cdot}(-1)^n}n=\sum_{n=1}^N\left(\frac{-1}{2n-1}+\frac3{2n}\right)=\sum_{n=1}^N\frac{4n-3}{2n(2n-1)}\ge\sum_{n=1}^N\frac1{2n}.$$Daraus folgt Divergenz, wg. harmonicher Reihe.

Comments

Was genau verstehe ich unter der 2N-ten Partialsummen? bzw. wie kommt man da auf den Nenner nach dem ersten Gleichheitszeichen?

---

Die $2N$-ten Partialsummen einer Reihe $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ sind die
Summen der Form $\displaystyle\sum_{n=1}^{2N}a_n=\sum_{n=1}^N\big(a_{2n-1}+a_{2n}\big)$.

---

ok, und das ungleich zeichen kommt wieso? ist es die abschätzung? diesen schritt kann ich nicht nachvollziehen :(

---

Das $\ge$ kommt daher, dass offenbar $4n-3\ge2n-1$ für alle $n\ge1$ ist.

---

jetzt seh ichs

vielen dank!

Answer 2

Hallo

zu 1 ) (-2)ⁿ=(-1*2)ⁿ=(-1)ⁿ*2ⁿ also eine alternierende Reihe also musst du nur zeigen dass die Koeffizienten ein Nullfolge bilden,

die zweite ruhe teile auf in eine für ungerade n und eine für gerade n.

Leibniz geht nicht da die K, nicht monoton fallen. also nicht konvergent.

Gruß lul

Comments

Der letzte Satz ist missverständlich: Das Leibniz Kriterium ist nur hinreichend.

---

hi, also die erste folge habe ich gelöst, sorry, dass ich zu blöd war das nicht zu sehen, wie man es umschreibt :)

aber wie genau löse ich dann die zweite folge? abschätzen? quotientenkr. ?

---

dass das leibnitz kriterium hinreichend ist, ist ok. ich muss ja danach die monotie zeigen mit an+1 ≤ an