b) Untersuchen Sie, für welche k die Funktion fk zwei verschiedene Nullstellen hat.

Question

Aufgabe:

10 Eine Funktionenschar wird durch fk mit fk(x)=1/2x^2+2 kx+k  dargestellt.

b) Untersuchen Sie, für welche (k) die Funktion fk zwei verschiedene Nullstellen hat. Geben Sie an, für welche k die Funktion fk keine Nullstellen hat.

Ich weiß nicht was der Ansatz ist.

Answer 1

10 Eine Funktionenschar wird durch fk mit \(f_k(x)= \frac{1}{2} x^2+2kx+k \)   dargestellt.
b) Untersuchen Sie, für welche (k) die Funktion fk zwei verschiedene Nullstellen hat. Geben Sie an, für welche k die Funktion fk keine Nullstellen hat

\(f_k(x)= \frac{1}{2} x^2+2kx+k \)

\( \frac{1}{2} x^2+2kx+k=0 \)

\( x^2+4kx+2k=0 \)  quadratische Ergänzung:

\( x^2+4kx+(\frac{4k}{2})^2-(\frac{4k}{2})^2+2k=0 \)

\( x^2+4kx+(2k)^2=(\frac{4k}{2})^2-2 k \)    linke Seite 1.Binom:

\( (x+2k)^2=4k^2-2k |  \sqrt{~~} \)

\( x+2k= \sqrt{4k^2-2k } \)

zwei verschiedene Nullstellen:

\(  \sqrt{4k^2-2k }>0 \)

keine Nullstellen:

\(  \sqrt{4k^2-2k }<0 \)

Zur Ergänzung :

eine Nullstelle:  (Scheitelpunkt liegt dann auf der x-Achse)

\(  \sqrt{4k^2-2k }=0 \)

Answer 2

Diskriminante der pq-Formel betrachten:

x^2+4kx+2k= 0

1 Nullstelle:

4k^2-2k = 0

2k(2k-1)

...

2 Nullstellen:

2k(2k-1) >0

keine Nullstelle:

2k(1k-1) <0

Answer 3

Der Ansatz kann zum Beispiel darin bestehen, die Funktionsgleichung in Scheitelform zu bringen und dann zu überlegen, wie die y-Koordinate beschaffen sein muss, damit \(f_k\) zwei Nullstellen besitzt.

Comments

Aber beim Operator untersuchen muss man doch nicht berechnen oder liege ich da falsch?

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Doch, das ist richtig. Der Weg ist beliebig, die Begründung muss aber richtig sein.

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Aber beim Operator untersuchen muss man doch nicht berechnen oder liege ich da falsch?

Na da wär ich mal gespannt, mit welcher Methode ihr denkt wäre es am leichtesten zu untersuchen, wenn nicht über das Berechnen.

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Der Operator "bestimmen" schließt Rechnungsvorgänge nicht aus.

Answer 4

f(x) = 1/2·x^2 + 2·k·x + k
f(x) = 1/2·(x^2 + 4·k·x) + k
f(x) = 1/2·(x^2 + 4·k·x + 4·k^2 - 4·k^2) + k
f(x) = 1/2·(x^2 + 4·k·x + 4·k^2) + k - 2·k^2
f(x) = 1/2·(x + 2·k)^2 + k - 2·k^2

Y-Koordinate vom Scheitelpunkt der nach oben geöffneten, gestauchten Parabel.

Sy = k - 2·k^2 = k·(1 - 2·k)

Zwei Nullstellen

k·(1 - 2·k) < 0 --> k < 0 ∨ k > 0.5

Keine Nullstelle

k·(1 - 2·k) > 0 --> 0 < k < 0.5