Bruchgleichung in den komplexen Zahlen

Question

Hallo zusammen,

ich habe heute eine Gleichung in den komplexen Zahlen vorgelegt bekommen und brauche etwas hilfe.

Die Aufgabe ist: Finden SIe alle Lösungen der Gleichung: \( \frac{1}{z-i} \) + \( \frac{1}{z+i} \) + \( \frac{1}{z-1} \) = -1

Mein Ansatz war zuerst mit den Nennern zu multiplizieren und dann ausmultiplizieren.

Danach Den Term vereinfache. Da kam bei mir dann \( z^{3} \)+ 2*\( z^{2} \)-z = 0 heraus

Ich habe dann weiterhin ausgeklammert und die Mitternachtsformel angewandt aber keine Komplexe Zahl als Lösung ekommen.

Answer 1

Aloha :)

Deine Umformungen waren richtig, denn das ist genau der Zähler, der Null ergeben muss:

$$0=z^3+2z^2-z=z(z^2+2z\pink{-1})=z((z^2+2z\pink{+1})\pink{-2})=z((z+1)^2-2)$$$$\phantom0=z((z+1)-\sqrt2)((z+1)+\sqrt2)=z(z-(\sqrt2-1))(z-(-\sqrt2-1))$$Ich erkenne 3 Lösungen:$$z_1=0\quad;\quad z_2=\sqrt2-1\quad;\quad z_3=-\sqrt2-1$$

Das sind zwar 3 reelle Lösungen, was aber nur heißt, dass der Imaginärteil der Lösungen verschwindet.

Comments

Vielen dank für die schnelle und ausführliche Hilfe,

das hat mir sehr weiter geholfen.

Answer 2

 \( z^{3} \)+ 2*\( z^{2} \)-z = 0 hat drei komplexe Lösungen.

Möglicherweise hast du nur vergessen, dass die reellen Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen sind.

Comments

Vielen dank fürdie schnelle ANtwort, du hats natürlich völlig recht das habe ich übersehen danke :)