Induktion zur Folgerung aus der geometrischen Summenformel mit komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

Zeige, dass $\sum\limits_{k=0}^{n}{w^{2}}$ = $\frac{Im(w^{n+1}}{Im(w)}$·$w^{n}$ gilt mit |w| = 1 und w ∉ {-1,1}. Beachte dass für |w| = 1 gilt, dass das komplex konjugierte von w gleich dem Inversen von w.

Ansatz: Vollständige Induktion.
Induktionsanfang & Voraussetzung sind klar, im Induktionsschritt scheitere ich:

$\sum\limits_{k=0}^{n+1}{w^{2}}$ = $\sum\limits_{k=0}^{n}{w^{2}}$ + $w^{2·(n+1)}$ = $\frac{Im(w^{n+1}}{Im(w)}$·$w^{n}$ + $w^{2·(n+1)}$ nach IV

Allerdings erkenne ich hier nicht, wie ich weiter umformen muss/kann, um $\frac{Im(w^{n+2}}{Im(w)}$·$w^{n+1}$ zu erhalten

Ich weiß, dass ich den Himweis über das Inverse/ komplex Konjugierte noch nicht verwendet habe, ich erkenne allerdings auch noch nicht, warum dieser Hinweis hilfreich ist

Comments

Siehe https://www.mathelounge.de/1092654/zeigen-sie-dass-fur-w-c-mit-w-1-u….