Zeigen Sie, dass für w ∈ C mit ∣w∣=1 und w ∉ {-1;1} gilt:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für w ∈ C mit ∣w∣=1 und w ∉ {-1;1} gilt:

  ∑ⁿ_k=0 w^2k = (Im(wⁿ⁺¹)) * wⁿ / Im(w)

Problem/Ansatz:

Mir ist klar, dass man irgendwie die geometrische Summenformel benutzen muss ich hab aber gar keine Ahnung wie man von da weiter machen soll, wäre super hilfreich wenn einer von euch mir bei einem Ansatz helfen könnte

Comments

Vielen Dank für deine Antwort abakus!

Ich hab mir die Aufgabe nochmal genau durch den Kopf gehen lassen und habe es mit der Identität Im(z) = (z- conj(z))/2i gelöst, wobei conj(z) das komplexe Konjugat von z ist. Mit der geometrischen Summenformel erhaält man, dass die o.g. Summe gleich (w²⁽ⁿ⁺¹⁾-1)/(w²-1) ist und wenn man den rechten Teil der Summe umstellt mit der genannten Identität und mit w erweitert kommt man auf denselben Ausdruck und damit gilt die Formel dann.   

---

Kann mir jemand eventuell etwas ausführlicher erklären, wie man hier die geometrische Summenformel verwendet?

Habe die Umformung für Im(w) verwendet & umgeformt zu (w^n+1 - conj(w^n+1))/w-conj(w) *w^n + w^2(n+1) und erkenne nicht, warum die Verwendung hier möglich ist

---

Natürlich,

Die geometrische Summenformel gilt ja für jede Summe wobei ein q ≠ 1 ist, die lautet dann

∑_k=0ⁿ q^k = (1- qⁿ⁺¹) /(1 - q), nach der Voraussetzung w ∉ {-1;1} ist w² ≠ 1 und damit gilt die geometrische Summenformel, die rechte Seite der Gleichung wollen wir nun auf jene Form bringen:

∑_k=0ⁿ w^2k = (w²⁽ⁿ⁺¹⁾ -1) / (w² - 1) (w² in die geo. Summenformel eingesetzt) 

Mit der Voraussetzung dass ∣w∣=1 gilt w^-1 = conj(w) kannst du dann die rechte Seite ebenfalls auf diese Form bringen, wenn du noch Fragen zur Umformung hast frag einfach nach.

Answer 1

Hast du schon mal über vollständige Induktion nachgedacht?

Der Induktionsanfang mit n=0 funktioniert schon mal.