Vollständige Induktion: Umformungsschritt mit Summenzeichen: Summenformel für ungerade Zahlen

Question

kann mir jemand sagen wieso, dass das gleiche ist?

Ich kann einfach nicht nachvollziehen, wieso das gleich ist, bzw. wieso das Summenzeichen so auseinander gezogen werden konnte $$ \sum_{i=1}^{n+1}(2i-1) = \sum_{i=1}^{n}(2i-1)+2(n+1)-1 $$ Vielen Dank

Comments

Hier fehlen die Klammern um die Summe rechts vom Gleicheitszeichen bis zum Pluszeichen. Wenn man zu diesem (dann geklammerten) Ausdruck den nächsten Summanden 2(n+1)-1 addiert, steht - bis auf die fehlenden Klammern - genau das da, was du geschrieben hast.

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Ich habe deine Frage diesbezüglich korrigiert.

Answer 1

\(\sum_{i=1}^{n+1} (2i-1)\\ = (2\cdot 1-1) + (2\cdot 2-1) + (2\cdot 3-1) + \dots + (2\cdot n-1) + (2\cdot(n+1)-1)\)

Die ersten \(n\) Summanden kannst du jetzt zu \(\sum_{i=1}^{n} (2i-1)\) zusammenfassen. Es bleibt der Summand \((2\cdot(n+1)-1)\) übrig; der wurde noch separat angehängt.