Vollständige Induktion. Σ (2i - 1) für n = 2, n = 3

Question

es geht um folgende Gleichung:

$$ \sum _{ i=1 }^{ n }{ (2i-1)={ n }^{ 2 } }  $$

für n = 1 habe ich keine Probleme mit dem Einsetzen und ausrechnen, aber ab n = 2 geht die Problematik los.

Mein Vorgehen bisher:

Induktionsanfang: n = 2

$$ \sum _{ i=1 }^{ n }{ (2i-1) = (2*2) -1 = 3}  $$

$$ { n }^{ 2 } = { 2 }^{ 2 } = 4 $$

Ist der Induktionsschritt jetzt noch nötig? Hier wird schließlich gezeigt, dass beide Seiten der Gleichung ungleich sind.

Weiter ginge es dann so:

Induktionsannahme: 

Für ein festes n € N gelte, dass

$$ \sum _{ i=1 }^{ n+1 }{ (2i-1) = { (n+1) }^{ 2 } }  $$

Induktionsschritt:

$$ \sum _{ i=1 }^{ n+1 }{ (2i-1) =} \sum _{ i=1 }^{ n }{ (2i-1) + (2 (n+1) -1) } $$

(induktions-Annahme)

$$ = { n }^{ 2 }+{ 2n } + {2} - {1} $$

$$ = {n}^{2} + 2n + 1 $$

$$ = (n+1)^{2} $$

Habe ich im Induktionsanfang etwas falsch eingesetzt oder wieso klappt es im Anfang nicht, aber dafür im Schritt?

Gruß,

SM

Comments

Lol, bei dem, was Du bereits in die Aufgabe an Ansätzen mitbringst, ist Dein Benutzername völlig unpassend.

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Alles eine Sache der Perspektive.

Bis ich solche mathematischen Prinzipien mal verstehe vergehen Stunden. Aber danke für's Kompliment. ;)

Answer 1

Hallo Schwachmatiker! :-D :-)

Der Induktionsanfang wird lediglich für n=1 durchgeführt.

Wenn Du zum Testen n=2, n=3 einsetzt, dann musst Du auch bis
n=2, n=3 summieren:

n=2
Summe(i=1 bis 2)[2i-1] = 2*1-1 + 2*2-1 = 1 + 3 = 4 = n^2

n=3
Summe(i=1 bis 3)[2i-1] = 2*1-1 + 2*2-1 + 2*3-1 = 1 + 3 + 5 = 9 = n^2


Beste Grüße
gorgar

Comments

Danke für die Hilfe!

Wie mache ich es im Induktionsschritt erkenntlich, dass ich nach dem Ergebnis für n=1 als nächstes das gleiche für n=2 mache?

Also zum Beispiel nach dem Ergebnis (n+1)^2 kommen die Summen für n=2 und n=3 einfach darunter?

Wenn ich schreibe:

Summe(i=1 bis 2)[2i-1] = 2*1-1 + 2*2-1 = 1 + 3 = 4 = n² (für n = 2) 

...dann fehlt doch noch dass gezeigt wird, dass diese Gleichung auch (n+1)^2 hervorbringt. Ich verstehen nicht, wie ich das im Induktionsschritt formulieren soll.

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Wie mache ich es im Induktionsschritt erkenntlich, dass ich nach dem Ergebnis für n=1 als nächstes das gleiche für n=2 mache?

Wenn Du den Induktionsschritt fertig hast, hast Du bewiesen, dass die Gleichung für alle n >= 1 gilt.

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Okay, verstanden.

Wenn ich dann eine Aufgabe habe, die folgendermaßen heißt:

"Prüfen Sie, ob B(n) für n = 1, 2, 3 gilt."

...dann kann ich dies nach obiger Rechnung bejahen - weil ja für n = 1 gezeigt.

(wobei B(n) die im ersten Beitrag genannte Gleichung ist.)

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Wenn ich dann eine Aufgabe habe, die folgendermaßen heißt:

"Prüfen Sie, ob B(n) für n = 1, 2, 3 gilt."

Dann solltest du wohl tätsächlich die Aussage B(n) jeweils für n=1,2,3 durch Einsetzen und ausrechnen prüfen.

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D.h. für \( \mathrm{n}=2 \) Induktionsschritt durchführen:

\( \sum \limits_{i=1}^{n+1}(2 i-1)=\sum \limits_{i=1}^{n}(2 i-1)+(2 *(n+1)-1)+(2 *(n+1)-1) \)
(Ind.-Annahme) \( =n^{2}+2 n+2-1+2 n+2-1 \)

\( =n^{2}+4 n+2 \)

Wie löst man den Term auf?

Auf die Lösung \( (n+1)^{2} \) komme ich so ja nicht oder?

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Wenn gefordert ist "Prüfen Sie, ob \( \sum _{ i=1 }^{ n }{ (2i-1)={ n }^{ 2 } }  \) für \( n = 1, 2, 3 \) gilt.", dann ist das etwas anderes als wenn da steht: "Beweisen Sie \( \sum _{ i=1 }^{ n }{ (2i-1)={ n }^{ 2 } }  \) gilt für alle \( n \in \mathbb{N}\).".
Im ersten Fall machst Du keine Induktion sondern setzt lediglich ein, rechnest aus und guckst, ob die Gleichung für \( n = 1, 2, 3 \) gilt. Im zweiten Fall machst Du den Beweis durch vollständige Induktion und zeigst damit, dass die Gleichung für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.