Zeige durch vollständige Induktion, dass die Summenformeln gelten: 1 +4+7+…+(3n-2) = n(3n-1)/2

Question

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass folgende Summenformeln gelten:

Aufgabe a: $$ 1 + 4 + 7 + \ldots + ( 3 n - 2 ) = \frac { n \cdot ( 3 n - 1 ) } { 2 } $$

Aufgabe b: $$ \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( 2 i - 1 ) = n ^ { 2 } $$

Answer 1

Aufgabe a:

1 + 4 + 7 + ... + (3·n - 2) = n·(3·n - 1)/2

Induktionsanfang: Wir zeigen das es für n = 1 gilt.

3·1 - 2 = 1·(3·1 - 1)/2
1 = 1

Induktionsschritt: Nun zeigen wir das es für n + 1 gilt, unter der Annahme das es für n gilt.

(1 + 4 + 7 + ... + 3·n - 2) + (3·(n + 1) - 2) = (n + 1)·(3·(n + 1) - 1)/2
(n·(3·n - 1)/2) + (3·(n + 1) - 2) = (n + 1)·(3·(n + 1) - 1)/2
(3·n^2/2 - n/2) + (3·n + 1) = (n + 1)·(3·n + 2)/2
3·n^2/2 + 5·n/2 + 1 = 3·n^2/2 + 5·n/2 + 1

Aufgabe b:

Σ (i = 1 bis n) (2·i - 1) = n^2

Induktionsanfang: Wir zeigen das es für n = 1 gilt.

2·1 - 1 = 1^2
1 = 1

Induktionsschritt: Nun zeigen wir das es für n + 1 gilt, unter der Annahme das es für n gilt.

Σ (i = 1 bis n+1) (2·i - 1) = (n + 1)^2
Σ (i = 1 bis n) (2·i - 1) + (2·(n + 1) - 1) = (n + 1)^2
n^2 + (2·(n + 1) - 1) = (n + 1)^2
n^2 + (2·n + 1) = (n^2 + 2·n + 1)
n^2 + 2·n + 1 = n^2 + 2·n + 1