Vollständige Induktion: Summenformeln von alternierenden Summanden, falls n gerade / ungerade zeigen

Question

Gibt es zu der Aussage eine vollständige Induktion?

$$\sum _ { j = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { j } j = \left\{ \begin{array} { c l } { \frac { n } { 2 } } & { \text { falls } 2 | n } \\ { - \frac { n + 1 } { 2 } } & { \text { falls } 2 / n } \end{array} \right.$$

Answer 1

so dramatisch, wie das jetzt vielleicht auf den ersten Blick aussehen mag, ist es nicht. Du musst nur eine Fallunterscheidung durchführen. Wenn 2|n gilt, dann ist doch wohl klar, dass n eine gerade Zahl ist und sonst im anderen Fall eine ungerade. Wenn n gerade ist, dann gibt es doch eine Zahl w∈ℕ, sodass n=2*w erfüllt ist, bzw., für ungerades n eine Zahl y∈ℕ, sodass n=2*y+1 erfüllt ist. Diese beiden Gleichungen kannst du jetzt für n einsetzen und führst dann zwei Induktionsbeweise durch. Fertig.

Comments

Hättest du dazu Notizen kann dem nicht so ganz folgen

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Ich meine  es einfach so:

Falls n gerade: $$ \sum_{j=1}^{2*w}j\cdot (-1)^j=\frac{2*w}{2}=w. $$

Falls  n ungerade : $$ \sum_{j=1}^{2*y+1}j\cdot (-1)^j=-\frac{2*y+1+1}{2}=-y-1. $$

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Könntest du mir die Lösung zu der aufgabe komplett zeigen?

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Das bringt nichts, wenn ich dir jetzt so einfach die Lösung hinklatsche. Beweisen lernt man wirklich nur durch Selbermachen.

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Ist mein erster beweis weiß hlt nicht wie ich überhaupt anfangen soll

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Dann mache dich zunächst mal mit dem Prinzip der vollständigen Induktion vertaut und beweise zum Beispiel dann damit die Summenformel vom Gauß.