Summenformel ungerade Zahlen. Beweis durch vollständige Induktion bei ∑(2i-1)=n^2, i von 1 bis n

Question

Wie funktioniert das Verfahren der vollstandigen Induktion allgemein und am Beispiel ∑ⁿ_i=1 (2i-1) = n²

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweise durch vollständige Induktion die Summenformel für ungerade Zahlen

Stichworte: summenformel,ungerade,vollständige-induktion,induktion

Beweisen Sie durch vollständige Induktion,dass für alle n∈ℕ

f(n) := 1+3+5+...+ (2n-1)=n^2

gilt.

∀ n∈ℕ ∑ von i=1 für i von 1 bis n = n^2

1.) IA:

n=1: 1=1       stimmt

n= 2: 1+3= 4 stimmt

2.) IB:

Voraussetzung gilt für n=k

1+3+5+...+ (2k-1)=k^2

Behauptung gilt für n=k+1

1+3+5+...+(2k-1)+(k+1) = (k+1)^2

                                     = k^2+2k+1

die Behauptung folgt aus der Voraussetzung:

1+3+5+...+(2k-1)+(k+1)=k^2+(k+1)

                                    = k^2+k+1

Stimmt der Ansatz denn so? Eig müsste am Ende k^2+2k+1 rauskommen

---

1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)= ...

                                    

Answer 1

Hi,

Behauptung:

A(n): ∑ⁿ_i=1 (2i-1) = n²

man beginnt mit dem Induktionsanfang und zeigt, dass es für n gilt.

n=1

l.S.: 2-1=1

r.S.: 1^2=1

Passt also.

Dann der Induktionsschritt. Es gelte für n und soll für n+1 gelten:

∑ⁿ⁺¹_i=1 (2i-1)=∑ⁿ_i=1 (2i-1)+(2(n+1)-1)=n^2+2n+1=(n+1)^2

Induktionsschluss:

Also: ∑ⁿ⁺¹_i=1 (2i-1)=(n+1)^2

und damit ist die Behauptung korrekt.

Wenn Dir vollständige Induktion noch recht neu ist, schau auch erst hier rein: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vollst%C3%A4ndige_Induktion

Answer 2

Aloha :)

Behauptung: \(\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)=n^2\)

Verankerung bei \(n=1\):$$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)=\sum\limits_{k=1}^1(2k-1)=2\cdot1-1=1=1^2=n^2\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\)::$$\sum\limits_{k=1}^{n+1}(2k-1)=\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}(2k-1)}_{=n^2}+(\,\underbrace{2(n+1)-1}_{=2n+1}\,)\stackrel{(I.V.)}{=}n^2+2n+1=(n+1)^2\quad\checkmark$$

Answer 3

Ich unterstelle, dass mittels vollständiger Induktion gezeigt werden soll, dass

$$\sum_{k=1}^{n} 2k-1= n^2$$ ist. Der Induktionsanfang für \(n=1\) zeigt, dass

$$\sum_{k=1}^{\colorbox{#ccffcc}{1}} 2k-1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1 =\colorbox{#ccffcc}{1}^2$$

das schon mal stimmt. Nun den Induktionsschritt d.h. Übergang von \(n\) nach \(n+1\):

$$\sum_{k=1}^{\colorbox{#ccffcc}{n+1}} 2k-1 = \sum_{k=1}^{n} (2k-1) + 2(n+1)-1 = n^2 + 2n +1 = (\colorbox{#ccffcc}{n+1})^2$$ zeigt, dass es auch für \(n+1\) stimmt (siehe auch 1.binomische Formel).

Answer 4

1+3+5+7+ ... + 2n-1 errechnet sich als arithmetrische Reihe (mit konstaner Differenz). Summe=(erste+letzte)·Anzahl der Glieder/2. Hier (1+2n-1)·n/2=n².

Answer 5

IS:   zu zeigen: Wenn IV erfüllt, dann  1 +3 + 5 + (2n-1) + (2n+1) = (n+1)^2

  1 +3 + 5 + (2n-1) + (2n+1)

= n^2                     + (2n+1)   (bin Formel liefert)

= (n+1)^2