Beweisen von ∑(i=0 bis n)[2i+1]=(n+1)^2 mit Hilfe der vollständigen Induktion.

Question

Es geht um die oben genannte Gleichung:

∑(i=0 bis n)[2i+1]=(n+1)^2

Mit IA und IV habe keine Probleme, jedoch komme ich mit dem Induktionsschritt nicht zurecht.

Mein Vorgehen:

∑(i=0 bis n+1)[2i+1]

=∑(i=0 bis n)[2i+1]+(n+1)

=(n+1)^2  {weil ∑(i=0 bis n+1)[2i+1]=(n+1)^2} +n+1

=(n^2) +3n+2

Das ist aber nicht gleich (n+1)^2, und ich sehe meinen Fehler nicht.

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Guter Anfang. Werner hat dir schon gesagt, was genau nicht stimmt. Zum Vergleich "ähnliche Fragen" z.B. https://www.mathelounge.de/27848/summenformel-ungerade-zahlen-beweis-vollstandige-induktion

Answer 1

Hallo Chris,

Willkommen in der Mathelounge!

Der Fehler steckt in der 2.Zeile. Der letzte Term der Summe ist nicht \((n+1)\) sondern$$\begin{aligned}\sum_{i=0}^{n+1} [2i+1] &= \sum_{i=0}^n [2i+1]+[2(n+1)+1] \\&=  \sum_{i=0}^n [2i+1]+2n+3\end{aligned}$$

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Danke für die Hilfe! Jetzt stimmt die Gleichung auch wieder. :)