... man kommt darauf indem man in \(\frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}\) den Wert \(n\) durch \((n+1)\) ersetzt
$$\frac{(2(n+1))!}{2^{(n+1)} \cdot (n+1)!}$$
und anschließend versucht, in diesem Term wieder den Faktor \(\frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}\) zu finden. ;-)